Встраиваемый коллектор с метрической системой FLRW

Вы рассматриваете некоторое трехмерное пространство с евклидовой метрикой в ​​цилиндрических координатах:

$$\tag{1} ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 = dr^2 + r^2 \, d\varphi^2 + dz^2.$$ Теперь введите в этом пространстве поверхность высотой$z = f(r)$(при условии изотропии в$x \, y$самолет). Затем$dz = f^{\prime} \, dr$и (1) становится $$\tag{2} ds^2 = (1 + f^{\prime \, 2}) \, dr^2 + r^2 \, d\varphi^2.$$ Вы хотите, чтобы эта метрика совпадала с метрикой FLRW, в случае$\theta = \frac{\pi}{2}$: $$\tag{3} ds^2 = \frac{1}{1 - k r^2} \, dr^2 + r^2 \, d\varphi^2.$$ Таким образом, вам нужно наложить следующее дифференциальное уравнение (предполагая$k = 1$. Это тривиально для$k = 0$и нет решения для$k = -1$с метрикой (1)): $$\tag{4} \frac{df}{dr} = \pm \, \frac{r}{\sqrt{1 - r^2}}.$$ Это накладывает$f(r) = C \mp \sqrt{1 - r^2}$. Вы можете выбрать отрицательный знак и$C = 1$, так$z(r) = 1 - \sqrt{1 - r^2}$для$0 \le r < 1$(так$z(0) = 0$и$z(1) = 1$).

Обратите внимание, что эта поверхность представляет собой половину сферы радиуса 1 с центром в$z_c = 1$, в трехмерном евклидовом пространстве:

$$\tag{5} x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = r^2 + (z - 1)^2 = 1.$$ Эта встроенная сфера соответствует геометрии, связанной с параметром кривизны пространства.$k = 1$.

Для$k = -1$, вам нужна псевдоевклидова метрика вместо (1) выше.