Решение одномерного уравнения Шредингера для потенциала V(x)=−1|x|V(x)=−1|x|V(x) = -\frac{1}{|x|} [закрыто]

Question

Решение одномерного уравнения Шредингера для потенциала V(x)=−1|x|V(x)=−1|x|V(x) = -\frac{1}{|x|} [закрыто]

Раджеш Д.

Возможно, этот вопрос уже задавался, но я не смог его найти, поэтому дайте мне знать, если он уже есть.

Рассмотрим потенциал, $V(x) = -\frac{1}{|x|}$ и если мы применим это к одномерному уравнению Шредингера, я хотел бы знать решение для волновой функции в 1D. Имеет ли она простое аналитическое решение? Имеет ли он какое-либо колебательное поведение, например

ψ (Икс, т) "=" п (Икс) е^{я к Икс} е^{я ю т}

$\psi(x,t) = P(x) e^{ikx}e^{i\omega t}$ Я имею в виду, будет ли такой фактор, как

e^{i k x}

$e^{ikx}$ ? Из интернет-поиска, глядя на одномерный атом водорода, во-первых, я не уверен, есть ли какое-либо аналитическое решение, но я предполагаю, что предполагалось, что экспоненциальный распад, что-то вроде

п (Икс) "=" е^{- α Икс}

$P(x) = e^{-\alpha x}$ настоящее. Но я не уверен в наличии колебаний типа

e^{i k x}

$e^{ikx}$ . Поэтому я был бы признателен за некоторые предложения и разъяснения.

PS: меня интересует не атом водорода, а конкретный одномерный потенциал.

Qмеханик

Один из возможных методов: 1D Schr. проблема с волной fct.

ϕ

$\phi$ может быть сопоставлен с эквивалентным трехмерным радиальным Schr. задача с радиальной волной fct.

R (r) = r ϕ (r)

$R(r)=r\phi(r)$ , решение которой можно найти в любом учебнике по КМ.

Виберт

@Qmechanic: потенциал тот же, но радиальная часть лапласиана не такая, как

\partial_{r}^{2}

$\partial_r^2$ , верно?

Qмеханик

@Vibert: Верно, поэтому волновую функцию необходимо соответствующим образом переопределить.

Ответы (2)

Решение одномерного уравнения Шредингера для потенциала V(x)=−1|x|V(x)=−1|x|V(x) = -\frac{1}{|x|} [закрыто]

Один из возможных методов: 1D Schr. проблема с волной fct. $\phi$ может быть сопоставлен с эквивалентным трехмерным радиальным Schr. задача с радиальной волной fct. $R(r)=r\phi(r)$ , решение которой можно найти в любом учебнике по КМ.
@Qmechanic: потенциал тот же, но радиальная часть лапласиана не такая, как $\partial_r^2$ , верно?
@Vibert: Верно, поэтому волновую функцию необходимо соответствующим образом переопределить.

Тримок · Answer 1

С потенциалом $V(x) = - \frac{\alpha}{|x|}$ , с обозначением $a = \large \frac{\hbar^2}{m \alpha}$ , решения:

{ты}_{н}^{+} (Икс, т) \sim Икс е^{- \frac{Икс}{н а}} л_{н - 1}^{1} (\frac{2 Икс}{н а}) е^{- \frac{1}{ℏ} Е_{н} т} ф о р Икс > 0

$u^+_n(x,t) \sim x e^{ - \large \frac{x}{na}} ~L_{n -1}^1(\frac{2x }{na}) e^{ -\frac{1}{\hbar} \large E_nt}~~for~~ x>0$

{ты}_{н}^{+} (Икс, т) "=" 0 ф о р Икс \leq 0

$u^+_n(x,t) = 0~for~~ x\le0$

и :

{ты}_{н}^{-} (Икс, т) \sim Икс е^{+ \frac{Икс}{н а}} л_{н - 1}^{1} (\frac{2 Икс}{н а}) е^{- \frac{1}{ℏ} Е_{н} т} ф о р Икс < 0

$u^-_n(x,t) \sim x e^{ + \large \frac{x}{na}} ~L_{n -1}^1(\frac{2x }{na}) e^{ -\frac{1}{\hbar} \large E_nt}~~for~~ x<0$

{ты}_{н}^{-} (Икс, т) "=" 0 ф о р Икс \geq 0

$u^-_n(x,t) = 0~for~~ x\ge0$

энергия которого:

Е_{н} "=" - \frac{1}{н^{2}} (\frac{м α^{2}}{2 ℏ^{2}})

$E_n = - \frac{1}{n^2} (\frac{m \alpha^2}{2 \hbar^2})$

$L_n^\gamma$ является обобщенным многочленом Лагерра

[EDIT] Существует 2 разных набора базовых функций, см. эту справочную страницу. $192$ формулы $20a$ и $20b$

@Trimok: у меня два вопроса. Что такое «р», и как вы ввели «н», и почему нам нужно ввести «н»?
@RajeshD: Извините, была опечатка, это $|x|$ (нет $r$ ). Я отредактировал ответ. Индекс $n$ соответствует различным возможностям решения. Решение $u_n$ является собственным вектором оператора энергии (гамильтониана) с собственным значением $E_n$ . Набор $u_n$ является основой для любого общего решения, т. е. любого общего решения $u(x,t)$ можно написать $u(x,t) = \sum \lambda^n u_n(x,t)$ , где $\lambda^n$ комплексные коэффициенты.
@RajeshD: Для практического ознакомления с $n$ , первая идея (как указывает Qmechanic) состоит в том, чтобы начать с «трехмерной» задачи, то есть с атома водорода . Мы знаем, что в этом случае энергия квантуется, а уровни энергии обозначаются целым числом. $n$ . $1D$ решение примерно $r$ раз больше радиальной части $3D$ раствор, принимая $l=0$ (потому что нет углового момента в $1D$ )
@Trimok: мне было бы трудно увидеть амплитуду в $x=0$ равен нулю, даже если это силовое поле притяжения.
Это означает, что вероятность найти частицу на $x=0$ равен нулю. На самом деле, мы можем попытаться мыслить классически. Если потенциал очень велик в $x=0$ , классически это означает, что скорость очень большая на $x=0$ , так что очень мало времени частица проводит вокруг $x=0$ , так что вероятность найти частицу очень мала около $x=0$ .
Что меня удивляет, так это то, что у нас, похоже, нет решений с нечетной четностью. Для всех $n$ , у нас есть $u_n(-x) = u_n(x)$ , тогда как я ожидаю некоторых решений с $u_n(-x) = -u_n(x)$ поскольку гамильтониан коммутирует с оператором четности. Есть ли простая причина, по которой мы не видим странных решений?
@Lagerbaer: здесь $Pu_n(x) = u_n(-x)=u_n(x)$ . Так что мне кажется, что нового решения нет.
Тримок: Я подозреваю, что любое квантование должно происходить в 1D. Я предполагаю, что вы переняли квантование из 3-D довольно слепо. Глядя на дифференциальное уравнение почти без граничных условий и с идеальной симметрией, я сомневаюсь, что требуется какое-либо квантование.
@RajeshD: я внес изменения в ответ, потому что есть тонкости: см. эту справочную страницу. $192$ формулы $20a$ и $20b$ . На самом деле есть 2 набора функций $u^+_n$ и $u^-_n$ , которые определены только, соответственно, на $x>0$ и $x<0$
@Trimok: «классически это означает, что скорость очень велика при x = 0, поэтому частица тратит очень мало времени около x = 0», хорошо, но я вряд ли хочу вкладывать в это свои деньги. Я думаю, что это в лучшем случае сомнительно.
@RajeshD: «Я думаю, что это в лучшем случае довольно сомнительно». Вы, наверное, правы... Но то, что волновая функция ровно равна нулю при $x=0$ одно дело, а то, что волновая функция сосредоточена в каком-то интервале (размером $na$ ) вокруг $x=0$ , другое дело.
@Тримок: $u_n(x)$ непрерывен в $x = 0$ , что означает дать мне любую вероятность $P$ , каким бы маленьким я ни был, я могу найти $\epsilon$ такое, что вероятность найти частицу в интервале $(-\epsilon,\epsilon)$ меньше, чем $P$ .
@Trimok: я читаю твою ссылку. Между тем интересная вещь. Вероятность обращения в нуль в центре, по-видимому, не возникает в трехмерном атоме водорода. Проверьте волновую функцию 1s-орбитали атома водорода, она имеет вид $\psi_{1s}(r) = a e^{-kr}$ , где $k$ и $a$ некоторые константы и $r$ - радиальное расстояние от ядра.
@РаджешД: $\psi_{1s}$ соответствовать $l=0$ . Для общего случая $l>0$ , у тебя $r^l$ коэффициент, поэтому волновая функция равна 0 при $x=0$
Кстати, каждый одномерный притягивающий потенциал имеет связанное состояние.
@Лагербер ; (Я внес правку в свой предыдущий ответ, который был недостаточно строгим). Да, но это должно быть верно и для других измерений, нет? Мне кажется, что существует эквивалентность между потенциалом притяжения и связанными состояниями?
Спасибо за размещение бумаги. Действительно интересно и совсем не интуитивно понятно, что сингулярность кулоновского потенциала, по сути, является потенциальным барьером. Что касается связанных состояний, в 2D и 3D у вас могут быть потенциалы притяжения, которые слишком слабы, чтобы захватить электрон.
@Lagerbaer: Не могли бы вы привести пример такого 2D или 3D потенциала? Спасибо.
Вот в конце один пример для сферически-симметричной потенциальной ямы: en.wikipedia.org/wiki/Finite_potential_well
Если вы хотите продолжить обсуждение, переместите его в Чат физики (вы можете создать комнату)

Роджер Вадим · Answer 2

Известно, что одномерное уравнение Шредонгера с кулоновским потенциалом проблематично, поскольку энергия основного состояния расходится. Однако ее можно решить, введя соответствующую отсечку. Вот выдержка из классической статьи Лоудона « Одномерный атом водорода» , которая решает эту проблему:

Показано, что квантово-механическая система, состоящая из частицы в одном измерении, подверженной кулоновскому притяжению (одномерный атом водорода), имеет основное состояние с бесконечной энергией связи, причем все возбужденные связанные состояния системы имеют двукратное вырождение . Рассмотрено нарушение теоремы о том, что одномерная система не может иметь вырождения. Рассмотрение иллюстрирует ряд свойств, общих для квантовой механики одномерных систем.

Хотя первоначально эта статья была опубликована в American Journal of Physics как представляющая только академический интерес, она стала довольно цитируемой в области углеродных нанотрубок, которые фактически являются одномерными системами, и где энергии экситонов были предсказаны как аномально большие. (разумеется, в нанотрубках есть естественный пороговый параметр — диаметр нанотрубки). Проблема менее выражена в других одномерных структурах, таких, например, как полупроводниковые квантовые нити, поскольку происходит экранирование кулоновского потенциала электронами, находящимися в материале вне проволоки.

Решение одномерного уравнения Шредингера для потенциала V(x)=−1|x|V(x)=−1|x|V(x) = -\frac{1}{|x|} [закрыто]

Раджеш Д.

Qмеханик

Виберт

Qмеханик

Ответы (2)

Тримок

Раджеш Д.

Тримок

Тримок

Раджеш Д.

Тримок

Лагербер

Тримок

Раджеш Д.

Тримок

Раджеш Д.

Тримок

Раджеш Д.

Раджеш Д.

Тримок

Лагербер

Тримок

Лагербер

Тримок

Лагербер

Манишерх

Роджер Вадим

Раджеш Д.

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Ожидаемое значение гамильтониана?

Как доказать, что dp/dt = -dV/dx? Квантовая механика [закрыто]

Как определить волновую функцию свободной частицы в сложной потенциальной функции?

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Нахождение полной волновой функции при всех ttt с заданной начальной волновой функцией при t=0t=0t=0 [закрыто]

Двумерный изотропный квантовый гармонический осциллятор: полярные координаты

Волновая функция частицы в гравитационном поле

Уравнение одномерного уравнения Шредингера с начальным условием, определяющее вероятность будущего положения частицы