В настоящее время я аспирант по математике, специализирующийся на алгебраической геометрии, стремящийся работать на границах областей математики и физики, поэтому я изучал область математической физики. В отличие от многих других областей чистой математики или теоретической физики, кажется, что здесь не так много ясного пути с точки зрения изучения основ этой области, поскольку большинство книг по «математической физике» представляют собой просто математические методы, используемые в физике. Напротив, во многих областях есть более или менее четкие планы по изучению книг.
Таким образом, я не очень понимаю, какие базовые знания должны быть у физика-математика? Специализируются ли они в какой-то конкретной области математики или в основном это топология и геометрия, или они должны знать и другие применимые области, такие как функциональный анализ, и в какой степени?
Поэтому мне было интересно, как именно нужно начинать изучать основы для проведения исследований в области математической физики? С точки зрения конкретной цели, чему нужно научиться, чтобы начать понимать такие вещи, как исследовательские работы Эда Виттена? Следует ли в идеале начинать с книги Накахара? И поможет ли изучение таких тем, как tqft и калибровочная теория? Даже если уже слишком поздно, следует ли подавать заявление в аспирантуру по математике или физике, если их интересует математическая физика?
Это слишком длинно для комментария, но он должен быть расширенным. Я заметил, что парень, который больше всего интересуется этим со структурной/математической точки зрения. Простите меня, если я не говорю вам ничего нового.
Вы определенно можете сделать TQFT в рамках чистой математики. Если вам нужна стандартная модель, вам следует понять свою теорию представлений, поскольку типы частиц соответствуют фундаментальным представлениям групп Ли ( в стандартной модели умножает группу Пуанкаре, если вы проводите анализ.) Отсюда квантовое поле — это часть векторного расслоения, связанного с представлением в пространстве-времени, удовлетворяющим вариационному принципу (экстремаль действия), включающему подходящие эквивариантные соединения (которые, кстати, являются вашими бозонами). Фариа-Мело развивает это и фактически демонстрирует стандартную модель в этой структуре.
Они упускают из виду четкий анализ того, как репрезентации связаны с типами частиц, но это сделано Баэзом и Уэртой в этом тексте ( http://math.ucr.edu/~huerta/guts/ ). По сути, элементы в ваших фундаментальных представлениях — это фермионные состояния частиц, генераторы присоединенного представления — это бозоны, которые действуют на ваши фермионы таким образом, который может быть представлен диаграммами Фейнмана.
Квантование все еще кажется мне нечетким, но, похоже, именно здесь появляются квантовые группы: вы не можете деформировать полупростую алгебру Ли и получить разумную деформацию ее теории представлений (это категория представлений). Однако вы можете деформировать ее универсальную обертывающую алгебру (которая является алгеброй Хопфа, т. е. объектом с благоприятно взаимодействующими произведением и копроизведением). По этому поводу сейчас проходит мастер-класс, в котором рассказывается об этом с целью изучения инвариантов 3-многообразия с использованием 3-мерных теорий поля. Заметки о квантовых группах можно найти на его веб-странице: http://www.math.ku.dk/english/research/conferences/2014/tqft/Между прочим, у них также есть ускоренный курс по операторной алгебре, который является частью теории, позволяющей разумно иметь дело с бесконечномерными представлениями группы Пуанкаре.
Как функторная точка зрения на теории поля связана с «классической» точкой зрения, разработанной Фариа-Мело, мне немного неясно, но я подозреваю, что вы можете найти некоторые ответы в статье Сигала о конформных теориях поля (http://www.math) . .upenn.edu/~blockj/scfts/segal.pdf — довольно дерьмовый скан, но вы найдете его в его 60-летии).
Конечно, это не включает в себя мельчайшие вычислительные аспекты, о которых физики могли бы рассказать вам, и я никогда не подходил достаточно близко к тому, что делают физики, чтобы на самом деле хотеть перенормировать что-либо (что-то, что вам, по-видимому, нужно сделать из-за самодействующие частицы, производящие расходящиеся интегралы). Это определенно довольно большая часть КТП, которую вы упустите, если не изучите также и подход физиков.
Представляется, что большая объединяющая идея в любом случае состоит в том, что физическая система должна быть инвариантна относительно выбора представления (калибровки) с точностью до группы или автоморфизмов (калибровочное преобразование), и что это справедливо для классических систем (лоренцевская или пуанкаре-инвариантность пространства или пространство-время), а также квантовые системы (другие группы Ли, действующие на векторный пучок состояний) и что вся физика более или менее выпадает из свойств материала с правильной симметрией. Кажется, это то, с чем согласны физики и математики в любом случае, так что вы не ошибетесь, изучая представления.
Помимо Фариа-Мело, вот несколько заметок, на которые мне нравится смотреть:
В этих заметках довольно подробно говорится о том, какую математику они используют math.lsa.umich.edu/~idolga/physicsbook.pdf.
Эти заметки о группах Ли и теории представлений очень хороши. staff.science.uu.nl/~ban00101/lie2012/lie2010.pdf Они идут с видео лекциями. webmovies.science.uu.nl/WISM414
Эйвинд Даль
Небо123