Сдвоенная пружинная система (3 массы 3 пружины)

Question

Сдвоенная пружинная система (3 массы 3 пружины)

Адам

Здравствуйте, у меня возникли проблемы с поиском подходящей модели для этой системы спаренных пружин. Сценарий у нас следующий: Потолок - Весна - Масса(1) - Весна(2) - Масса(2) - Весна (3) - Масса(3) Конец.

Для моделирования этой задачи я придумал следующую систему дифференциальных уравнений 2-го порядка.

$x_1^{''}=[-k_1x_1-k_2(x_2-x_1)-k_3(x_3-x_2)]/m_1$

$x_2^{''}=[-k_2(x_2-x_1)-k_3(x_3-x_2)]/m_2$

$x_3^{''}=-k_3(x_3-x_2)/m_3$

Это правильная модель? После этого я пытаюсь линеаризовать эти уравнения в 6 дифференциальных уравнений, которые я могу ввести в Matlab и построить положение каждой пружины.

Поэтому я линеаризовал их и получил следующее:

$y_1^{'}=y_2$

$y_2^{'}=(-k_1y_1-k_2(y_3-y_1)-k_3(y_5-y_3)/m_1$

$y_3^{'}=y_4$

$y_4^{'}=(-k_2(y_3-y_1)-k_3(y_5-y_3)/m_2$

$y_5^{'}=y_6$

$y_6^{'}=(-k_3(y_5-y_3))/m_3$

Я не уверен, правильно это или нет. Когда я рисую их в Matlab, я не получаю синусоидальную волну. Большой плюс, если вы, ребята, можете сказать мне, как я могу анимировать эту систему в Matlab, чтобы я мог видеть изменение положения всех трех пружин.

dmckee --- котенок экс-модератор

Вы не ожидаете простых синусоид, за исключением нескольких особых случаев.

Адам

Что ты имеешь в виду? Значит модель правильная?

dmckee --- котенок экс-модератор

Я понятия не имею, правильная модель или нет, но отсутствие простых синусоид само по себе не указывает на ошибку. Есть несколько обычных режимов, но найти их — проблема собственных значений, и я не уверен, знаете ли вы этот термин и что он означает.

Адам

Я знаю, что такое собственные значения, но обычно собственные значения систем пружинных масс являются сложными.

Джинави

IIRC, этот пример решен в классической механике Тейлора.

Адам

Можете ли вы опубликовать ссылку?

Ответы (1)

Сдвоенная пружинная система (3 массы 3 пружины)

Вы не ожидаете простых синусоид, за исключением нескольких особых случаев.
Что ты имеешь в виду? Значит модель правильная?
Я понятия не имею, правильная модель или нет, но отсутствие простых синусоид само по себе не указывает на ошибку. Есть несколько обычных режимов, но найти их — проблема собственных значений, и я не уверен, знаете ли вы этот термин и что он означает.
Я знаю, что такое собственные значения, но обычно собственные значения систем пружинных масс являются сложными.
IIRC, этот пример решен в классической механике Тейлора.
Можете ли вы опубликовать ссылку?

Джон Алексиу · Answer 1

Из диаграммы свободного тела вы должны иметь

\begin{aligned} м_{1} {\ddot{Икс}}_{1} & "=" Ф_{1} - Ф_{2} \\ м_{2} {\ddot{Икс}}_{2} & "=" Ф_{2} - Ф_{3} \\ м_{2} {\ddot{Икс}}_{3} & "=" Ф_{3} \end{aligned}

$\begin{align} m_1 \ddot{x}_1 &= F_1 - F_2 \\ m_2 \ddot{x}_2 &= F_2 - F_3 \\ m_2 \ddot{x}_3 &= F_3 \end {align}$

с усилиями пружины, определяемыми как

\begin{aligned} Ф_{1} & "=" - к_{1} {Икс}_{1} \\ Ф_{2} & "=" - к_{2} ({Икс}_{2} - {Икс}_{1}) \\ Ф_{3} & "=" - к_{3} ({Икс}_{3} - {Икс}_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} F_1 & = -k_1 x_1 \\ F_2 & = -k_2 (x_2-x_1) \\ F_3 & = -k_3 (x_3-x_1) \end{align}$

Вышесказанное комбинируется как

[\begin{matrix} м_{1} & 0 & 0 \\ 0 & м_{2} & 0 \\ 0 & 0 & м_{3} \end{matrix}] (\begin{matrix} {\ddot{Икс}}_{1} \\ {\ddot{Икс}}_{2} \\ {\ddot{Икс}}_{3} \end{matrix}) "=" - [\begin{matrix} к_{1} + к_{2} & - к_{2} & 0 \\ - к_{2} & к_{2} + к_{3} & - к_{3} \\ 0 & - к_{3} & к_{3} \end{matrix}] (\begin{matrix} {Икс}_{1} \\ {Икс}_{2} \\ {Икс}_{3} \end{matrix})

$\begin{bmatrix} m_1 & 0 & 0 \\ 0& m_2 & 0 \\ 0 & 0 & m_3 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 \\ \ddot{x}_3 \end{pmatrix} = - \begin{bmatrix} k_1 + k_2 & -k_2 & 0 \\ -k_2 & k_2 + k_3 & -k_3 \\ 0 & -k_3 & k_3 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} {x}_1 \\ {x}_2 \\ {x}_3 \end{pmatrix}$

Что, я думаю, соответствует вашим уравнениям (вы должны проверить).

Чтобы сделать ODEиз этого, вам нужен вектор состояния

у "=" (\begin{matrix} {Икс}_{1} \\ {Икс}_{2} \\ {Икс}_{3} \\ в_{1} \\ в_{2} \\ в_{3} \end{matrix})

$y = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

и его производная

\dot{у} "=" А у

$\dot{y} = A\,y$

(\begin{matrix} {\dot{Икс}}_{1} \\ {\dot{Икс}}_{2} \\ {\dot{Икс}}_{3} \\ {\dot{в}}_{1} \\ {\dot{в}}_{2} \\ {\dot{в}}_{3} \end{matrix}) "=" [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ - \frac{к_{1} + к_{2}}{м_{1}} & \frac{к_{2}}{м_{1}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{к_{2}}{м_{2}} & - \frac{к_{2} + к_{3}}{м_{2}} & \frac{к_{3}}{м_{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{к_{3}}{м_{3}} & - \frac{к_{3}}{м_{3}} & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] (\begin{matrix} {Икс}_{1} \\ {Икс}_{2} \\ {Икс}_{3} \\ в_{1} \\ в_{2} \\ в_{3} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \\ \dot{v}_1 \\ \dot{v}_2 \\ \dot{v}_3 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ - \frac{k_1+k_2}{m_1} & \frac{k_2}{m_1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{k_2}{m_2} & - \frac{k_2+k_3}{m_2} & \frac{k_3}{m_2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{k_3}{m_3} & - \frac{k_3}{m_3} & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

Пока $\ddot{x}_i \propto - x_i$ будет гармоничный отклик. Если вы этого не видите, значит, вы что-то не так используете ode45().

Сдвоенная пружинная система (3 массы 3 пружины)

Адам

dmckee --- котенок экс-модератор

Адам

dmckee --- котенок экс-модератор

Адам

Джинави

Адам

Ответы (1)

Джон Алексиу

Можно ли решить безмассовую пружинную систему?

Каковы формы колебаний колеблющейся пружины?

Пружина-масса-маятник "по законам Ньютона"

2 пружины 1 масса системы, найти уравнение движения

Массовые точки модели Масса-пружина

Связанные дифференциальные уравнения: как записать в терминах только одной координаты? [закрыто]

О шкиве, канате, четырех массах и двух пружинах: решаемо или нет?

Что изменится, если пружина не будет безмассовой?

Запутался в гравитации и весе [закрыто]

Каково значение зажима центра пружины?