О шкиве, канате, четырех массах и двух пружинах: решаемо или нет?

Представьте блок с невесомой веревкой без трения. С обеих сторон шкива (и с обеих сторон каната) прикрепляем груз ($m_1$и$m_2$). Эти массы связаны с двумя другими массами ($m_3$ан$m_4$) с помощью двух идеальных пружин (пружинные постоянные$k_1$и$k_2$). Веревка имеет массу s (кг/м).

Мы удерживаем две верхние массы на одинаковой высоте, после чего позволяем системе идти своим путем. Как мы должны смоделировать систему математически?

Для двух отдельных масс на каждом конце ситуация проста. Более тяжелая масса получает ускорение$g-a$, более легкая масса$g+a$и это легко вычислить$a$, если массы известны. Но что происходит в этом (неравновесном) случае? Может быть, это неразрешимая задача четырех тел?

Наверняка есть четыре тела (четыре массы). Но это не проблема четырех тел, потому что массы не движутся в силовом поле друг друга. Две пары масс соединены нитью, и на обе эти пары действует сила тяжести.

После некоторых размышлений проблема оказалась проще, чем я думал. Для ускорения a обоих наборов масс после их отпускания решаем следующую формулу (если$(m_1+m_2)>(m_2+m_4)$):

$(m_1+m_2)(g-a)=(m_3+m_4)(g+a)$

После настройки$g=10$и некоторые перестановки мы получаем:

$a=\frac{10(M-m)} {(M+m)}$, где$M=m_1+m_2$, и$m=m_3+m_4$

Таким образом, две массы, соединенные пружиной

Зная a, легко определить, насколько удлинились или укоротились пружины.

Но что, если мы примем во внимание (одинаково) изменяющуюся массу по обе стороны от шкива из-за массы веревки?