Каковы формы колебаний колеблющейся пружины?

Я рассматриваю задачу о связанном осцилляторе, в котором у нас есть 3 пружины, соединенные между двумя стенами следующим образом: стена, затем пружина (k), затем масса (m), затем пружина (2k), затем масса (m). , потом пружина (k), потом стенка.

Я рассчитал характерные частоты (думаю), используя тот факт, что мы будем иметь

$$m \dfrac{d^2x}{dt^2}=-kx+2k(y-x)=-3kx+2ky$$ и $$m\dfrac{d^2y}{dt^2}=-ky-2k(y-x)=-3ky+2kx.$$

Таким образом, мы имеем в новой системе координат

$$m\pmatrix{\ddot{X}\\\ddot{Y}}=k\pmatrix{-3&-2\\2&-3}\pmatrix{x\\y}.$$

Оценивая матрицу в предыдущем выражении, я получаю собственные значения$\mu_1=-5$и$\mu_2=-1$. Единичные собственные векторы будут

$$\hat{e}_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\pmatrix{1\\1}$$ и $$\hat{e}_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\pmatrix{1\\-1}.$$

Итак, в новой системе координат у меня есть

$$\pmatrix{\ddot{X}\\\ddot{Y}}=\dfrac{k}{m}\pmatrix{\mu_1&0\\0&\mu_2}\pmatrix{X\\Y}.$$ Это означает, что $$\ddot{X}=-\dfrac{5k}{m}X$$ и $$\ddot{Y}=-\dfrac{k}{m}Y.$$

Решая эти уравнения, получаем

$$X=Asin(\omega_1t+\alpha)$$ и $$Y=Bsin(\omega_2t+\beta),$$ где $\omega_1=\sqrt{\dfrac{5k}{m}}$и $\omega_2=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$.

Теперь мне нужно найти характерную частоту и форму колебаний. (Пожалуйста, не давайте никаких ответов, так как это домашнее задание, которое я хотел бы решить сам.)

Q1 . Правильно ли я думаю, что характеристическая частота просто$f=\omega/2\pi$, или я неправильно понимаю, что такое характерная частота?

В2 . Каков режим вибрации? Я понимаю, что это такое для продольной волны, колеблющейся между двумя фиксированными точками, но я думаю, что эта система поперечная, и я изо всех сил пытаюсь понять, какими могут быть формы колебаний.

Пожалуйста, может кто-нибудь проверить, правильно ли я понимаю, что такое характеристическая частота, и если нет, не могли бы вы объяснить, что это такое. Кроме того, может ли кто-нибудь объяснить, каков режим вибрации в поперечной системе, подобной этой.