Каким должно быть строгое определение векторов положения и какова их роль в дифференциальной геометрии?

Сначала несколько предварительных сведений о строгом определении аффинного пространства. Если вас это не интересует, вы можете перейти к нижней части, где я отвечаю на ваши конкретные вопросы.

Учитывая набор$S$и группа$\big(G,\circ\big)$, мы определяем действие левой группы

$$\triangleright: G \times S \rightarrow S$$ $$(g,s) \mapsto g\triangleright s$$

такой, что

1. Элемент идентификации$e\in G$отображает каждый элемент$s$к себе, и
2. Для всех$g,h\in G$и$s\in S$, у нас есть это$g\triangleright (h \triangleright s) = (g\circ h)\triangleright s$

Стабилизатор точки _$s\in S$представляет собой набор элементов$G$какая карта$s$себе:

$$\Sigma(s) := \big\{g \in G \ \big| \ g\triangleright s = s\big\}$$

• Левое действие называется свободным, если$\forall s\in S$:$\Sigma(s)=\{e\}$. Другими словами, единственный элемент$G$который отображает любой$s\in S$самому себе является элементом идентичности$G$. Такое действие обладает тем свойством, что если$g\triangleright s = h\triangleright s$, то сразу гарантируется, что$g=h$.
• Левое действие называется транзитивным , если для всех$s,t\in S$, существует некоторое$g\in G$такой, что$g \triangleright s = t$. То есть всегда можно добраться до любого элемента$S$от любого другого действием какого-либо элемента$G$.

---

Сделав эти определения, мы можем определить аффинное пространство как тройку$\big(A,V,\triangleright\big)$, где$A$это набор,$V$является векторным пространством, и$\triangleright$является свободным транзитивным левым действием$V$на$A$, где мы замечаем, что любое векторное пространство$V$является, в частности, абелевой группой со сложением векторов в качестве групповой операции. Обычно называют элементы$A$ точки и элементы$V$ векторы смещения .

Пример: Пусть$A=\mathbb R^2$как набор, и пусть$V = \mathbb R^2$как векторное пространство. Учитывая любую точку$p\equiv (a,b)\in A$и любой вектор смещения$\vec v \equiv \langle x,y\rangle\in V$, определите левое действие

$$\vec v \triangleright p = \langle x,y\rangle \triangleright (a,b) := (a+x,b+y)$$

Неудивительно, что любое векторное пространство является аффинным пространством над собой, по аналогии с этим примером.

---

При выборе исходной точки $O\in A$, любая точка$x\in A$может быть однозначно отождествлен с вектором смещения$\vec v$такой, что$\vec v \triangleright O = x$. Заметим, что существование такого вектора смещения гарантируется, поскольку левое действие транзитивно, а его единственность гарантируется, поскольку левое действие является свободным.

Немного злоупотребляя обозначениями, некоторые люди повторно используют один и тот же символ дважды и позволяют$\vec x$— единственный вектор такой, что$\vec x \triangleright O = x$(где$x$с правой стороны живет в$A$). В педагогических целях, вероятно, лучше обозначать такой объект через$\vec v_x$или что-то, но это то, что есть.

---

В качестве чуть менее тривиального примера аффинного пространства рассмотрим следующий набор:

$$A := \big\{ (a,b,c)\in \mathbb R^3 \ \big| \ z = 5\big\}$$

$A$не является векторным подпространством$\mathbb R^3$потому что это не включает в себя происхождение. Однако, если мы снабдим его векторным пространством$V = \mathbb R^2$и левое действие

$$\langle x,y\rangle \triangleright (a,b,c) := (a+x,b+y,c)$$

тогда оно действительно становится аффинным пространством.

---

---

Теперь к вашим вопросам.

В частности, если я выберу две другие точки p′ и o′, находящиеся на одинаковом расстоянии друг от друга, я получу тот же элемент из аффинного пространства, поэтому мне кажется, что векторы положения, определенные таким образом, на самом деле нигде не «расположены». Это верно? Есть ли способ «исправить» это или более аккуратный математический способ взглянуть на это?

Да это верно. Здесь нечего исправлять, в том смысле, что это особенность аффинных пространств, а не ошибка.

Проблема с привязкой векторов к точкам заключается в том, что каждая точка имеет свою собственную копию векторного пространства, и нет очевидного способа сравнить или объединить векторы, которые присоединены к разным точкам.

Иными словами, аффинное пространство снабжено одним универсальным векторным пространством, а не набором отдельных векторных пространств, которые нужно было бы соединить вместе, используя довольно много дополнительной структуры (например, аффинное соединение ) .

---

[...] тот факт, что многообразие может иметь кривизну, действительно вызывает у меня дискомфорт, и я не понимаю, как с этим можно примириться с «прямой» природой векторов положения.

Вы правы, что вам неудобно. В самом деле, пространства, обладающие внутренней кривизной, не могут считаться аффинными пространствами, потому что, например, перенос вектора по замкнутому контуру обычно приводит к вектору, отличному от того, с которого вы начали, — это резко контрастирует с довольно очевидным

$$\vec x + \vec a + \vec b + (-\vec a) + (-\vec b) = \vec x$$ которое мы имели бы, если бы работали в аффинном пространстве.

Я считаю, что можно говорить только о векторах положения в плоских многообразиях, и каким-то образом положение «перестает быть вектором», если пространство имеет кривизну[...]

Да, это точно.

[...] но как насчет «производной векторов положения» в качестве полей кадра?

Плоское пространство — это не то же самое, что «декартовы координаты». Очевидно, евклидова плоскость$\mathbb E^2$плоская в том смысле, что у нее нет внутренней кривизны, но ее все же можно описать, используя полярные координаты, которые имеют естественную основу, которая меняется в зависимости от$\mathbb E^2$.

---

---

РЕДАКТИРОВАТЬ: я заметил, что, хотя я пытался ответить на вопросы в теле вашего поста, я на самом деле не ответил на вопрос в заголовке.

Учитывая аффинное пространство$\big(A,V,\triangleright\big)$, аффинный фрейм — это выбор исходной точки$O\in A$и основа$\{\vec v_i\}$из$V$. Для такого репера поле вектора положения является векторнозначной функцией

$$\vec R:A \rightarrow V$$ $$a \mapsto \vec R(a)$$

где$\vec R(a)$это единственный вектор такой, что$\vec R(a) \triangleright O = a$. Это поле в том смысле, что это функция, определенная в каждой точке базового множества.$A$.

Учитывая кривую$\gamma : \mathbb R \rightarrow A$(которую можно условно назвать траекторией), мы можем определить вектор положения вдоль кривой

$$\vec R_\gamma : \mathbb R \rightarrow V$$ $$t \mapsto \vec R \big(\gamma(t)\big)$$

Этот объект, по сути, и есть то, о чем мы говорим, когда говорим о зависящем от времени векторе положения частицы.