Сила остановки движущейся веревки в зависимости от давления торможения жидкости

Ваш вывод дополнительной силы на весах для падающей веревки неверен, оба случая дают одинаковые результаты.

Если я правильно понимаю, вы сравниваете эффект падения веревки на весах с аналогичным падением жидкости, примерно так схематично:

Проблема ваших рассуждений связана с неверным представлением о стагнационном давлении, которое в этой проблеме участия не принимает. Вы использовали член уравнения Бернулли, обычно называемый динамическим давлением . Давление торможения — это давление внутри любой точки жидкости в статических условиях, и это будет максимальное давление, достижимое внутри несжимаемой жидкости (см. сайт в Принстоне ). Здесь вы можете утверждать, что уже упавшая жидкость и внутри сосуда имеет это давление, но в любом случае ни одно из этих давлений не имеет отношения к вашей задаче: падение жидкости полностью аналогично падению веревки, и ваш вывод должен быть таким же, используя$\rho$вместо$\lambda$.

Хотя выражения обманчиво похожи, они относятся к разным сценариям.

Теперь, что касается вашего выражения, основной намек, указывающий на то, что вышесказанное неверно, заключается в том, что если вы обнаружите, что работа, затраченная на остановку веревки, вы получите$mv_o^2$($v_o$— начальная скорость веревки), которая в два раза превышает общую энергию (только кинетическую), которую веревка имела изначально.

Дело в том, что вы предполагаете, что каждая часть веревки (массой$\lambda$) немедленно останавливается, что означает, что существует сила бесконечной величины.

$$F_{\lambda}=-\frac{dp}{dt}= A \delta (t-t_o)$$ где $A$постоянная неизвестная, $t_o$это время, в течение которого сила $F_{\lambda}$действует, а отрицательный знак обусловлен тем, что сила, останавливающая веревку, направлена ​​против движения. Мы можем найти эту константу, приравняв импульс, связанный с остановкой элемента каната: $$J_{\lambda} = \int_0^{\infty} F_{\lambda} dt = A$$ и мы знаем, что этот импульс должен равняться потере импульса $\Delta p_{\lambda} = \lambda \Delta x v_o$, где часть массы фрагмента веревки записывается как $\Delta m = \lambda \Delta x$. Поэтому у нас есть: $$J_{\lambda} = \int_0^{\infty} F_{\lambda} dt = A\int_0^{\infty} \delta (t-t_o) dt = A = \lambda \Delta x v_o$$ Таким образом, правильное выражение элемента силы на шкале (противоположное элементу на веревке):

$$F_{\lambda}= \Delta m v_o \delta(t-t_o)$$

Некоторые важные примечания:

1) Здесь мы не должны ошибаться$\Delta x$в связи с$v_o$, так как это длина веревки, соответствующая массе веревки$\Delta m$. Так$\Delta t = \frac{\Delta x}{v_o}$не время, в котором действует сила (если мы так не предполагаем, и проблема в другом).

2) Размеры правильные, учитывая, что$\delta (t - t_o)$должен иметь размеры$T^{-1}$с$\int_0^{\infty} \delta (t-t_o) dt = 1$

3) Здесь не совершается механическая работа.$\int W dx = 0$так как мы не предполагали смещения шкалы. Но на самом деле это также означало бы отсутствие деформации веревки и перераспределения воды внутри стакана для его заполнения. Таким образом, в действительности потеря кинетической энергии была затрачена на работу, связанную с деформацией веревки (и перераспределением воды), которая, хотя и не очевидна для расчета, в конечном итоге должна дать$\frac {m v_o^2}{2}$полная начальная кинетическая энергия.