Симметрия квантового гамильтониана.

Квантовая симметрия не обязательно сохраняет коммутационные соотношения алгебры операторов системы. Позвольте мне отослать вас к книге Клааса Ландсмана: «Основы квантовой теории» (есть версия для скачивания на сайте researchgate) — глава 9, стр. 334, определение 9.2 (симметрия Вигнера)

Это определение можно перефразировать следующим образом:

Симметрия Вигнера — это непрерывная биекция пространства чистых состояний, которая сохраняет вероятности перехода.

(Ландсман дает всего 6 (почти эквивалентных) определений симметрии, каждое из которых подчеркивает другой аспект квантовой теории).

Я уточню случай паритетной симметрии спина$\frac{1}{2}$система Чистое состояние пин-$\frac{1}{2}$система может быть представлена ​​матрицей плотности, которая также является проектором:

$$\rho = \frac{1}{2}(1 + \sum_i x^i \sigma_i)$$ С: $\sum_i x_i^2 = 1$. Последнее условие гарантирует, что матрица плотности является проектором: $\det \rho = 0$.

Поскольку оператор четности меняет знак матриц Паули$\sigma_i \rightarrow {\sigma}'_i = -\sigma_i$, он действует на чистые состояния как:

$$\rho \rightarrow \rho' = \frac{1}{2}(1 - \sum_i x^i \sigma_i)$$

сохранение ожиданий:

$$\mathrm{tr}( \rho \sigma_i) = \mathrm{tr} ( \rho' {\sigma_i}').$$

Учитывая два чистых состояния$\rho_x = \frac{1}{2}(1 + \sum_i x^i \sigma_i)$и$\rho_y = \frac{1}{2}(1 + \sum_i y^i \sigma_i)$. Их переходная вероятность может быть записана как:

$$\tau(\rho_x, \rho_y) = \mathrm{tr}( \rho_x\rho_y)$$ В нашем случае имеем $$\tau({\rho}'_x, {\rho}'_y) = \mathrm{tr}( \frac{1}{2}(1 - \sum_i x^i \sigma_i) \times \frac{1}{2}(1 - \sum_i y^i \sigma_i) )= \frac{1}{2}(1+\sum_ix^iy^i) = \mathrm{tr}( \rho_x\rho_y) =\tau(\rho_x, \rho_y)$$ Таким образом, четность является симметрией.