Каковы физические последствия изоморфизма между SO(2)SO(2){\rm SO}(2) и R/ZR/Z\mathbb{R}/\mathbb{Z}?

В$d\ge 3$, первая гомотопическая группа$\mathrm{SO}^+(1,d)$является$\mathbb Z_2$, что по существу приводит к спиновому квантованию. В$d=2$, и из-за$\mathrm{SO}(2)\sim\mathbb R/2\pi\mathbb Z$, у нас есть$\pi_1(\mathrm{SO}^+(1,d))=\mathbb Z$, и поэтому у нас больше нет спинового квантования. Частицы больше не делятся на бозоны и фермионы, но у них может быть какая-то статистика. Мы можем найти любые ионы , которые приводят к очень богатой феноменологии (вспомните дробный квантовый эффект Холла и т. д.).

Напомним, что спин происходит от проективных представлений малой группы, а именно,$\mathrm{SO}(d)$. В отличие от высших измерений, в$d=2$у нас есть это$\mathrm{Spin}(d)$не является универсальным покрытием$\mathrm{SO}(d)$; верно,$\widehat{\mathrm{SO}}(2)=\mathbb R$, который не компактен. Таким образом, мы больше не требуем$U(4\pi)=1$, так что этот спин больше не является полуцелым. Весело!

Различие между группами$\mathbb R$а также$\mathbb R/\mathbb Z\cong SO(2)\cong S^1$является топологическим, следовательно, он актуален в топологических аспектах теории поля.

Классическим примером двухмерной (пространственной) системы, где это важно, является модель Абеля-Хиггса, которая появляется в физике конденсированного состояния (нерелятивистской) и физике высоких энергий (релятивистской). Это состоит в основном в калибровочной теории поля с локальной алгеброй симметрии$\mathfrak u(1)$и калибровочная симметрия спонтанно нарушена до единичного элемента$e$комплексным скалярным полем (Хиггса). Если калибровочная группа симметрии$\mathbb R/\mathbb Z\cong SO(2)\cong S^1$тогда статические конфигурации с конечной энергией обеспечивают карты$\phi:S^1\rightarrow S^1$от круга на бесконечности к вакуумному коллектору$SO(2)/e\cong SO(2)\cong S^1$, что является еще одним кругом. Фундаментальная группа второго круга,$\pi_1(S^1)$, нетривиально: поскольку мы покрываем первый круг один раз, изображение может покрыть второй круг$n$раз, имея поэтому номер обмотки $n$. Карты с разным числом витков не могут непрерывно деформироваться друг в друга, они негомоморфны. Говорят, что все гомоморфные отображения принадлежат одному классу эквивалентности и связаны с одним элементом фундаментальной группы. Следовательно$\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$. Физический смысл всего этого прост: поскольку отображения с разными числами витков негомоморфны, связанные скалярные поля не могут распадаться друг на друга. Это приводит к возникновению устойчивых конфигураций, таких как вихри, которые экспериментально подтверждены в сверхпроводимости в виде вихревых линий Абрикосова и предсказываются в Теориях Великого Объединения как космические струны .что может иметь космологические последствия, такие как образование галактик. Это также может иметь отношение к проблеме удержания кварков, где топологические конфигурации называются потоковыми трубками (обратите внимание, что во всех трех примерах конфигурация расширена в другом пространственном измерении, но вся топологическая релевантность находится в двумерном сечении). С другой стороны, если мы просто изменим топологию калибровочной группы, сказав, что она$\mathbb R$, то мы рассмотрим конфигурации, связанные с$\phi:S^1\rightarrow \mathbb R$. Но так как все замкнутые кривые в$\mathbb R$можно стянуть в точку, все они гомоморфны, т.е.$\phi(\mathbb R)= e$. Физически это означает, что все конфигурации могут распадаться в вакуум, следовательно, устойчивых вихрей не существует.

Если вы хотите прочитать хорошее введение о топологических решениях в теории поля, включая обсуждение гомотопических групп, модели Абеля-Хиггса и вихрей, вы можете проверить главу 3 (в специальном разделе 3.3) « Космические струны и другие топологические дефекты » Виленкина и Шелларда. .