Как можно доказать, что корреляционная функция зависит только от пространственной разности, если гамильтониан трансляционно инвариантен?

Question

Как можно доказать, что корреляционная функция зависит только от пространственной разности, если гамильтониан трансляционно инвариантен?

Амвросий Чау

Если $H$ является трансляционно-инвариантным гамильтонианом, как я могу убедиться, что корреляционная функция (в основном состоянии $\left|G\right\rangle$ ) $\left\langle G|\psi(x)\psi(x’)|G\right\rangle$ зависит только от $x-x’$ .

Как полевой оператор $\psi(x)$ относится к $\psi(0)$ через оператора перевода в любом случае? Как определяется оператор перевода при вторичном квантовании?

Хиральная аномалия

Унитарный оператор перевода

U (x)

$U(x)$ определяется условием _

U (x) ψ (0) U^{†} (x) = ψ (x)

$U(x)\psi(0)U^\dagger(x)=\psi(x)$ , и

U (x) U (x^{'}) = U (x + x^{'})

$U(x)U(x')=U(x+x')$ , и поскольку основное состояние трансляционно-инвариантного гамильтониана имеет тенденцию быть трансляционно-инвариантным (без учета возможности спонтанного нарушения симметрии, приводящего к кристаллическому основному состоянию), это означает

U (x) | G ⟩ \propto | G ⟩

$U(x)|G\rangle\propto |G\rangle$ . Эти вещи можно использовать для доказательства того, что корреляционная функция зависит только от

x - x^{'}

$x-x'$ . Или вы просите явное выражение для

U (x)

$U(x)$ с точки зрения полевых операторов?

Амвросий Чау

не знаю как доказать

U (x) ψ (0) U^{†} (x) = ψ (x)

$U(x)\psi(0)U^\dagger(x)=\psi(x)$ . И как выразить

U (x)

$U(x)$ с точки зрения полевых операторов тоже. Я знаю в первом квантовании,

U (x) = \exp (- i x \hat{p} / ℏ)

$U(x)=\exp(-ix\hat{p}/\hbar)$ . Но как мы можем говорить о

\hat{p}

$\hat{p}$ при вторичном квантовании?

Хиральная аномалия

Отношение

U (x) ψ (0) \tilde{U} (x) = ψ (x)

$U(x)\psi(0)\tilde U(x)=\psi(x)$ не то, чтобы доказать. Это то, что означает «оператор перевода». Это только определение, как и в нерелятивистской квантовой механике («первое квантование»). Нужно доказать, как оператор, обладающий этим свойством, может быть выражен через операторы поля («второе квантование» = квантовая теория поля). Я напишу ответ по этому поводу...

Ответы (1)

Как можно доказать, что корреляционная функция зависит только от пространственной разности, если гамильтониан трансляционно инвариантен?

Унитарный оператор перевода $U(x)$ определяется условием _ $U(x)\psi(0)U^\dagger(x)=\psi(x)$ , и $U(x)U(x')=U(x+x')$ , и поскольку основное состояние трансляционно-инвариантного гамильтониана имеет тенденцию быть трансляционно-инвариантным (без учета возможности спонтанного нарушения симметрии, приводящего к кристаллическому основному состоянию), это означает $U(x)|G\rangle\propto |G\rangle$ . Эти вещи можно использовать для доказательства того, что корреляционная функция зависит только от $x-x'$ . Или вы просите явное выражение для $U(x)$ с точки зрения полевых операторов?
не знаю как доказать $U(x)\psi(0)U^\dagger(x)=\psi(x)$ . И как выразить $U(x)$ с точки зрения полевых операторов тоже. Я знаю в первом квантовании, $U(x)=\exp(-ix\hat{p}/\hbar)$ . Но как мы можем говорить о $\hat{p}$ при вторичном квантовании?
Отношение $U(x)\psi(0)\tilde U(x)=\psi(x)$ не то, чтобы доказать. Это то, что означает «оператор перевода». Это только определение, как и в нерелятивистской квантовой механике («первое квантование»). Нужно доказать, как оператор, обладающий этим свойством, может быть выражен через операторы поля («второе квантование» = квантовая теория поля). Я напишу ответ по этому поводу...

Хиральная аномалия · Answer 1

Рассмотрим простейшую КТП, а именно свободное скалярное поле. Уравнение движения (на картинке Гейзенберга) имеет вид

\begin{matrix} (1) & (\partial_{т}^{2} - \nabla^{2} + м^{2}) ф (т, Икс) "=" 0 \end{matrix}

$(\partial_t^2-\nabla^2 +m^2)\phi(t,\mathbf{x})=0 \tag{1}$ и равновременные коммутационные соотношения

\begin{matrix} [ф (т, Икс), \dot{ф} (т, у)] "=" я {дельта}^{3} (Икс - у) \\ (2) & [ф (т, Икс), ф (т, у)] "=" 0 [\dot{ф} (т, Икс), \dot{ф} (т, у)] "=" 0. \end{matrix}

$\begin{gather} [\phi(t,\mathbf{x}),\,\dot\phi(t,\mathbf{y})] =i\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y}) \\ [\phi(t,\mathbf{x}),\,\phi(t,\mathbf{y})]=0 \hskip2cm [\dot\phi(t,\mathbf{x}),\,\dot\phi(t,\mathbf{y})]=0. \tag{2} \end{gather}$ Мы хотим построить унитарный оператор

U (x)

$U(\mathbf{x})$ что удовлетворяет

\begin{matrix} (3) & U (Икс) ф (т, 0) U^{†} (Икс) "=" ф (т, Икс), \end{matrix}

$U(\mathbf{x})\phi(t,\mathbf{0})U^\dagger(\mathbf{x})= \phi(t,\mathbf{x}), \tag{3}$ что является определением оператора перевода. Операторы импульса

P_{k}

$P_k$ являются эрмитовыми образующими группы трансляций (опять же по определению), поэтому

\begin{matrix} (4) & U (Икс) "=" опыт (я Икс \cdot п) Икс \cdot п \equiv \sum_{к} {Икс}_{к} п_{к} . \end{matrix}

$U(\mathbf{x})=\exp(i\mathbf{x}\cdot \mathbf{P}) \hskip2cm \mathbf{x}\cdot \mathbf{P}\equiv\sum_k x_k P_k. \tag{4}$ в единицах, где

ℏ = 1

$\hbar=1$ . Возьмем градиент (3) относительно

x_{k}

$x_k$ получить

\begin{matrix} (5) & [п_{к} ф (т, Икс)] "=" - я \nabla_{к} ф (т, Икс) . \end{matrix}

$[P_k\,\phi(t,\mathbf{x})]=-i\nabla_k\phi(t,\mathbf{x}). \tag{5}$ Это определяющее свойство операторов

P_{k}

$P_k$ . Однако нам нужно явное выражение для

P_{k}

$P_k$ с точки зрения полевых операторов. В общем, мы можем использовать теорему Нётер, чтобы получить выражение для

P_{k}

$P_k$ с точки зрения полевых операторов. Или вместо того, чтобы повторять теорему Нётер, мы можем записать анзац, а затем доказать, что он работает. (Второй подход проще, когда мы уже знаем ответ, и поскольку я уже знаю ответ, я буду использовать здесь второй подход.) Из коммутационных соотношений (2) следует, что оператор

\begin{matrix} (6) & п_{к} "=" \int г^{3} Икс \dot{ф} (т, Икс) \nabla_{к} ф (т, Икс) \end{matrix}

$P_k=\int d^3x\ \dot\phi(t,\mathbf{x})\nabla_k \phi(t,\mathbf{x}) \tag{6}$ эрмитов и удовлетворяет условию (5), поэтому этот анзац работает. Уравнение (6) выражает операторы импульса через операторы поля, а затем уравнение (4) дает операторы сдвига. Если операторы поля записать в терминах обычных операторов рождения/уничтожения, то (6) принимает вид

\begin{matrix} (7) & п_{к} \propto \int г^{3} п п_{к} а^{†} (п) а (п) . \end{matrix}

$P_k\propto \int d^3p\ p_k a^\dagger(\mathbf{p})a(\mathbf{p}). \tag{7}$ Пост

Вывод оператора полного импульса QFT

выписывает этот последний шаг немного более явно. См. также уравнение (2.21) в

«Глава 2: Квантование скалярного поля» ( http://cftp.ist.utl.pt/~gernot.eichmann/2015-qft ),

который является одним из первых источников, которые я нашел при быстром поиске по запросу «оператор импульса в КТП».

Предыдущие уравнения объясняют, как выразить $U(\mathbf{x})$ с точки зрения полевых операторов. Чтобы ответить на первоначальный вопрос о том, почему двухточечная корреляционная функция является трансляционно-инвариантной, нам нужны только уравнения (3) и (4) вместе с предположением, что основное состояние $|G\rangle$ является трансляционно-инвариантным: $U(\mathbf{x})|G\rangle=|G\rangle$ . Это дает

\begin{aligned} ⟨ г | ф (Икс) ф ({Икс}^{'}) | г ⟩ & "=" ⟨ г | U (Икс) ф (0) U^{†} (Икс) U ({Икс}^{'}) ф (0) U^{†} ({Икс}^{'}) | г ⟩ \\ "=" ⟨ г | ф (0) U ({Икс}^{'} - Икс) ф (0) | г ⟩, \end{aligned}

$\begin{align} \langle G|\phi(\mathbf{x})\phi(\mathbf{x'})|G\rangle &= \langle G|U(\mathbf{x})\phi(\mathbf{0})U^\dagger(\mathbf{x}) U(\mathbf{x'})\phi(\mathbf{0})U^\dagger(\mathbf{x'})|G\rangle \\ &= \langle G|\phi(\mathbf{0}) U(\mathbf{x'}-\mathbf{x})\phi(\mathbf{0})|G\rangle, \end{align}$ что показывает, что корреляционная функция зависит только от

x^{'} - x

$\mathbf{x'}-\mathbf{x}$ .

Как можно доказать, что корреляционная функция зависит только от пространственной разности, если гамильтониан трансляционно инвариантен?

Амвросий Чау

Хиральная аномалия

Амвросий Чау

Хиральная аномалия

Ответы (1)

Хиральная аномалия

Являются ли бозоны Голдстоуна обязательно частицами со спином 0?

Количество голдстоуновских бозонов при фазовых переходах из парамагнитного в ферромагнитный

Симметрия квантового гамильтониана.

Преобразование Боголюбова с небольшим изюминкой

Матрица проводимости (информация о симметрии)

Каковы физические последствия изоморфизма между SO(2)SO(2){\rm SO}(2) и R/ZR/Z\mathbb{R}/\mathbb{Z}?

Антиунитарные операторы десятикратным способом

Нарушает ли электрическое поле дискретную трансляционную симметрию или нет?

Почему дырочная и киральная симметрия частицы называются симметриями?

Возникающие симметрии