Симметрия в программе суммирования по Эвальду

Это уловка, используемая для экономии времени при выполнении фактических вычислений за счет использования симметрии в задаче.

Обратите внимание, что$k^2$является четной функцией (инвариантной относительно${\bf k}\to-{\bf k}$) и норма преобразования Фурье решеточной функции$|S({\bf k})|^2$также является четной функцией, поскольку

$$S({\bf k}) = \sum_i q_i e^{i{\bf k}\cdot {\bf r_i}} \implies |S({\bf k})|^2 = \sum_{i,j} 2q_iq_j\cos({\bf k}\cdot({\bf r_i - r_j}))$$

и$\cos(x) = \cos(-x)$так что все слагаемое четно. Поэтому мы можем заменить сумму по$k_x\in[-n,n]$в$\sum_{{\bf k}\not=0}g(k)|S({\bf k})|^2$на сумму свыше$k_x>0$путем добавления коэффициента$2$. Посмотрите пример ниже, как это работает.

Обратите внимание, что мы не можем применить этот трюк ко всем координатам (т.е. рассматривать только$k_x,k_y,k_z\geq 0$и умножить на$8$), так как векторы с двумя отрицательными числами, такие как$(-2,-3,5)$плюс симметрия${\bf k} \to -{\bf k}$недостаточно, чтобы покрыть все точки сетки, по которым мы хотим просуммировать. Вот почему они применяют его только к одной из координат$k_x$, однако вы можете сделать то же самое для$k_y$или$k_z$вместо$k_x$и получить тот же результат.

Вы также можете рассмотреть все$k_x\in[-n,n]$(и не умножать на$2$), если хотите, и это даст тот же результат, но для вычисления потребуется вдвое больше времени.

---

Простой пример. Учитывать$n=1$так$k_x,k_y,k_z\in\{-1,1\}$. Сумма по$(n+1)^3 = 8$точки сетки

$$\matrix{\sum_{k_x,k_y,k_z\in\{-1,1\}} f({\bf k}) &=& f(-1,-1,-1) + f(1,1,1)\\ &+&f(-1,-1,1) + f(1,1,-1)\\ &+&f(-1,1,-1) + f(1,-1,1)\\ &+&f(-1,1,1) + f(1,-1,-1)\\}$$

С$f$даже,$f({\bf k}) = f(-{\bf k})$, мы видим, что два термина в каждой строке выше равны, поэтому

$$\matrix{\sum_{k_x,k_y,k_z\in\{-1,1\}} f({\bf k}) &=& 2f(1,1,1)\\ &+&2f(1,1,-1)\\ &+&2f(1,-1,1)\\ &+&2f(1,-1,-1)\\&=& 2 \sum_{k_z,k_y,k_z\in\{-1,1\},~~k_x > 0} f({\bf k})}$$