Гамильтониан сильной связи для двумерной конечномерной решетки и нанопроволоки

Единственное, что вам нужно сделать, это установить сопоставление. У вас есть базовая функция в

Затем нужно установить правила для элементов матрицы. Вот пример кода (писал, что через 10 минут могут быть баги). Посмотрите, как работает sparse-command, чтобы понять, как строится гамильтониан. Как видите, ничего сложного нет. Только немного утомительно следить за индексацией. Тогда фактическая диагонализация - это всего одна строка. В примере не хватает k_z, так что вам придется вставить его самостоятельно. Это будет означать, что при построении элементов матрицы вам нужно будет учитывать дисперсию.

Na = 20; % Number of atoms in x directions
Nb = 20;
Ni = 2;

H_S = [ 1.0 0.1 ; 0.1 1.0 ]; % Hamiltonian for same site interaction
H_NN = [ 0.1 0.0 ; 0.0 0.1 ]; % Hamiltonian for nearest neighbour interaction

% Values to store the constructed sparse hamiltonian
nn1 = [];
nn2 = [];
Hnn = [];

% Loop over all lattice sites
for a1=1:Na, for b1=1:Nb
  % Loop over all neighbouring sites
  for da=-1:1
  a2=a1+da;
  if (a2 <1 || a2 > Na)
    continue;
  end
  for db=-1:1
    b2=b1+db;
    if (b2 <1 || b2 > Nb)
      continue;
    end
    % Loop over all basis function pairs
    for i1=1:Ni, for i2=1:Ni
      n1 = ((a1-1) + (b1-1) * Na) * Ni + i1; % Magic happends here
      n2 = ((a2-1) + (b2-1) * Na) * Ni + i2;
      NN = max(abs(da),abs(db));
      if (NN == 0)
        nn1 = [ nn1 n1 ]; % XXX Super slow
        nn2 = [ nn2 n2 ];
        Hnn = [ Hnn H_S(i1,i2) ];
      end
      if (NN == 1)
        nn1 = [ nn1 n1 ]; % XXX Super slow
        nn2 = [ nn2 n2 ];
        Hnn = [ Hnn H_NN(i1,i2) ];
      end
    end,end
  end
end, end
end
H = sparse(nn1, nn2, Hnn);
[U,E] = eig(H);
plot(diag(E));

Обновлять:

Это шаги (IHMO), как создать простой код TB.

1) получить положения атомов и типов атомов (например, взять кубическую элементарную ячейку из 8 атомов GaAs и повторить это 15x15x1 раз, а затем вырезать атомы, которые находятся слишком далеко от центра, чтобы создать сферическую проволоку). Совет: для резки используйте плоскости решетки и известные поверхности.

2) Каждый атом будет иметь$N_b$Базисные функции. Ваш гамильтониан будет состоять из блоков$N_b \times N_b$. В нотации Matlab все матричные элементы Гамильтона между двумя сайтами (с индексами a1 и a2) можно записать как:

H((a1*N):(a1*N+N-1), (a2*N):(a2*N+N-1) = Hloc;

3) Перебрать все атомы в вашей ячейке (это означает все (скажем) 200 атомов, а не элементарную ячейку GaAs). Для каждого атома выполните цикл по его окрестностям (не забудьте также заглянуть в соседние ячейки).

4) Вычислить все матричные элементы гамильтониана этих пар атомов и добавить их в соответствующее место в гамильтониане. (не забудьте добавить фазовый коэффициент, если пары не находятся в одной элементарной ячейке).

Оцените разницу между двумя положениями атомов и, что еще лучше, разделите ее на а/4, где а — постоянная вашей решетки.

У вас может получиться такой вектор (-1,-1,-1), где вы можете легко сделать вывод, что это взаимодействие с ближайшим соседом, и добавить соответствующие матричные элементы.

В$O_h$симметрии, вы можете взять абсолютное значение трех элементов разностного вектора и отсортировать их, чтобы получить уникальный дескриптор матричного элемента. Структура цинковой обманки имеет более низкую симметрию, но могут быть и подобные трюки.