Символическая динамика многомерной системы

Позволять Икс т "=" Ф ( Икс т − 1 ) быть динамической системой с дискретным временем в хаотическом режиме. Начиная с начального состояния Икс 0 , мы можем создать временной ряд ( Икс т ) где т "=" 1 , 2 , . . . , Т указывает индекс времени.
Из этого мы можем генерировать символы следующим образом: с т "=" 1 если Ф т ( Икс 0 ) > с , и с т "=" 0 в противном случае с с является критической точкой одномерной карты. Таким образом, каждая итерация карты Ф дает новый символ. Помещая последовательности нулей и единиц в вектор символов, мы получаем с "=" ( с 0 , с 1 , с 2 , … ) . (Пожалуйста, обратитесь к этому вопросу о символической динамике одномерных карт для более математического объяснения того, как генерируются символы.)

Теперь предположим, что у нас есть двумерная система, или, скажем, приведенная выше одномерная (одномерная) система преобразуется в двумерную систему с использованием метода встраивания с задержкой Такенса следующим образом: Дан одномерный временной ряд ( Икс т ) , задержка т , и некоторая размерность вложения м , рассматривается карта вложения г т "=" ( Икс т , Икс т + т , . . . , Икс т + ( м − 1 ) т ) е р м который генерирует векторы фазового пространства г 1 , г 2 , … .

В качестве примера пусть м "=" 2 , т "=" 1 , пусть первая полученная координата называется Икс и вторая координата у . ( Икс , у ) образует новую многомерную систему. Моя проблема: как мне получить символическую динамику для этого случая? Пример:

Икс "=" 0,10 , 0,45 , 0,60 , 0,42 , …
у "=" 0,00 , 0,10 , 0,45 , 0,60 , …

Будет ли символьная последовательность для каждого измерения или символ будет назначен точке ( Икс , у ) ? Объяснение будет очень полезно, чтобы прояснить концепцию.

Ответы (1)

Будет ли символьная последовательность для каждого измерения или символ будет назначен точке ( Икс , у ) ?

Это зависит от того, что вы в конечном итоге хотите сделать с последовательностью символов, но для типичных приложений, таких как определение энтропии или моделирование, вы хотите назначить точке один символ. Общая причина этого заключается в том, что (для правильной реконструкции) вы заботитесь о расположении в фазовом пространстве, а не об отдельных компонентах — в этом более или менее весь смысл фазового пространства в целом.

Самый простой способ сделать это — обозначить каждый компонент символом, а затем создать составной символ (или «слово»). Например, если у вас есть два возможных символа, 0 и 1 для каждого компонента, то у вас есть четыре возможных составных символа ( 0 , 0 ) ; ( 0 , 1 ) ; ( 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 ) . Для дальнейшего чтения см., например, Daw et al. – Обзор символьного анализа экспериментальных данных .

Другой способ — использовать символы перестановки, как это предложено в Bandt and Pompe — Permutation Entropy: A Natural Complexity Measure for Time Series . Здесь вы учитываете порядок компонентов и назначаете разные символы каждому возможному порядку. С другой точки зрения, вы смотрите, какую перестановку нужно применить к компонентам, чтобы они располагались в порядке возрастания, и назначаете символ каждому из возможных вариантов. м ! перестановки. Например, для вложения задержки с размерностью м "=" 3 , у вас есть шесть возможных символов, по одному для каждого из следующих случаев:

  1. Икс т + 2 т > Икс т + т 2 > Икс т т + 2 ;
  2. Икс т + 2 т > Икс т т + 2 ≥ Икс т + т 2 ;
  3. Икс т + т 2 ≥ Икс т + 2 т > Икс т т + 2 ;
  4. Икс т + т 2 > Икс т т + 2 ≥ Икс т + 2 т ;
  5. Икс т т + 2 ≥ Икс т + 2 т > Икс т + т 2 ;
  6. Икс т т + 2 ≥ Икс т + т 2 ≥ Икс т + 2 т .

Используя числа в качестве символов, с т "=" 1 , и без перекрытия между символами вы бы перевели следующие временные ряды в символы следующим образом:

1 , 7 , 6 ⏟ 3 , 4 , 6 , 5 ⏟ 3 , 3 , 0 , 3 ⏟ 5 , 6 , 1 , 0 ⏟ 6 , 2 , 2 , 4 ⏟ 6 , 7 , 3 , 5 ⏟ 5 , 7 , 6 , 9 ⏟ 2 .

Спасибо за ваш ответ. Насколько я понимаю, вы предлагаете, чтобы каждая координата обозначалась независимо от другой другой координаты, используя критическую точку (или среднее значение временного ряда для этой координаты) для каждой координаты. Таким образом, по сути, мы можем сказать, что каждая координата повторяется из начального условия, а символическое представление этой координаты является двоичным расширением начального условия с реальным значением. Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь.
Другой способ символизировать, когда в систему встроена задержка, — использовать точку задержки вместо критической точки. Эта техника символизации для меня нова, спасибо, что представили/упомянули ее. Не могли бы вы привести пример для м "=" 3 как будет выглядеть символическое представление для встраивания задержки? Большое спасибо за ваши усилия и время.
Я задал еще один вопрос, который является продолжением этого поста здесь physics.stackexchange.com/q/248951 Не могли бы вы взглянуть и, возможно, вы сможете дать ему лучшее объяснение.
@SKM: Таким образом, по сути, мы можем сказать, что каждая координата повторяется из начального условия, а символическое представление этой координаты является двоичным расширением реального начального условия. – Начальное условие не вещественнозначное, а векторнозначное. Также не забывайте, что компоненты взаимодействуют друг с другом. Наконец, я не понимаю, как это относится к рассматриваемой проблеме.
@SKM: еще один способ обозначения, когда в систему встроена задержка, - использовать точку задержки вместо критической точки. – Я не совсем уверен, что вы имеете в виду под точкой задержки. — Не могли бы вы привести пример для м "=" 3 как будет выглядеть символическое представление для встраивания задержки? - Смотрите мою правку.
Последний вопрос: когда вы говорите, что начальное условие имеет векторное значение, вы имеете в виду, что каждый компонент вектора является начальным значением этого компонента? Например: точка (x,y,z) во встроенном пространстве имеет начальное условие как вектор ( Икс 0 , у 0 , г о ) ? Не могли бы вы предоставить ссылку / ссылки, где я могу получить официальное представление об этой теме, особенно о назначении символов после встраивания задержки. Большое спасибо!
@SKM: Например: точка (x, y, z) во встроенном пространстве имеет начальное условие как вектор (x₀, y₀, z₀)? – Да, хотя, если это векторы с задержкой, не каждый выбор начального вектора может быть допустимым. Например, может случиться так, что вы должны иметь Ф ( Икс 0 ) "=" у 0 и Ф ( у 0 ) "=" г 0 . — Не могли бы вы предоставить ссылку / ссылки, где я могу получить официальное введение в эту тему, особенно назначение символов после встраивания задержки. – Это отдельная наука. Связанные статьи должны послужить вам отправной точкой для исследования литературы.
Символическая динамика многомерной системы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v