Аналитическое доказательство того, что показатели Ляпунова в гамильтоновых системах попарно равны нулю

Я читал, что в гамильтоновых системах показатели Ляпунова идут парами. ( λ я , λ 2 Н − я + 1 ) так что их сумма равна нулю.

Есть ли способ доказать это аналитически?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Видел это здесь .

В симплектических системах ЛЭ идут парами. ( λ я , λ 2 Н − я + 1 ) так что их сумма равна нулю. Это означает, что ляпуновский спектр симметричен. Это способ подчеркнуть инвариантность гамильтоновой динамики при изменении направления стрелы времени.

Ах я вижу. Тем не менее, вы должны а) дать ссылку на то, где вы это прочитали, и б) продемонстрировать некоторые исследовательские усилия. Просто набрав «сумма пар показателей Ляпунова нулевая» в Google, я получаю эту статью , которая даже показывает обобщение на негамильтоновы системы.
@ACuriousMind, я согласен. Поскольку мой собственный поиск наполнен вещами в контексте, я отказался от необходимости предоставлять его, спрашивая на форуме. Отредактировано

Ответы (1)

  1. Мы рассматриваем эволюцию с дискретным временем

    Икс н   "="   ф ( Икс н − 1 )   "="   ф н ∘ ( Икс 0 ) , н   е   Н ,
    в 2 Н -мерное симплектическое многообразие ( М , ю ) , где ф является симплектоморфизмом .

  2. Будем для простоты работать в местных координатах. Задайте матрицу Якоби как

    (1) А ( Икс , н ) я Дж   "="   ∂ ( ф н ∘ ( Икс ) ) я ∂ Икс Дж .

  3. В локальных координатах Дарбу матрица Якоби (1) является симплектической матрицей

    (2) А Т Ом А   "="   Ом , Ом   "="   [ 0 Н − я Н я Н 0 Н ] .

  4. Обратите внимание, что транспонированный А Т также является симплектической матрицей. Обратите внимание, что А Т А является положительно определенной симплектической матрицей.

  5. Симплектический квартетный механизм: для диагонализируемого 1 симплектическая матрица, собственные значения образуют квартет

    (3) { λ , λ ¯ , λ − 1 , λ ¯ − 1 }
    в комплексной плоскости С . Квартет становится дублетом на действительной оси и на единичной окружности.

  6. Определить показатели Ляпунова

    (4) { λ 1 ( Икс , н ) , … , λ 2 Н ( Икс , н ) }   ⊂   р
    как собственные значения эрмитовой матрицы
    (5) Λ ( Икс , н )   "="   1 2 н п ⁡ ( А ( Икс , н ) Т А ( Икс , н ) ) .

  7. Из симплектического дублетного механизма (3) следует, что собственные значения (4) распределены симметрично вокруг 0 ​​на вещественной оси р .

--

1 Не все симплектические матрицы диагонализируемы. 2D контрпример:

(6) А   "="   [ 1 1 0 1 ] .

+1, Просто краткий комментарий, поскольку любой перевод с непрерывным временем является симплектическим преобразованием, тогда случай с непрерывным временем является тривиальным обобщением. Я также считаю, что матрица А Т А является положительно полуопределенным и, следовательно, будет иметь исключительно λ "=" λ ¯ дегенеративные квартеты.
@Void: я согласен.
Аналитическое доказательство того, что показатели Ляпунова в гамильтоновых системах попарно равны нулю
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v