Сколько дельта-v мы можем выжать из гравитационной рогатки и какие факторы ее ограничивают?

Question

Сколько дельта-v мы можем выжать из гравитационной рогатки и какие факторы ее ограничивают?

Космос
дельта-v
помощь гравитации
орбитальная механика

пользователь6738

Многие космические зонды используют гравитацию от различных космических объектов, чтобы увеличить свою скорость и сэкономить на топливе. От каких факторов зависит увеличение дельта-v? Мои предположения:

Масса объекта (чем массивнее, тем лучше)
Расстояние от объекта до космического корабля (чем ближе, тем лучше)
Время, проведенное позади (или впереди, если вы хотите замедлиться) объекта (чем дольше, тем лучше)

Однако я не уверен в своих предположениях, поскольку они исходят исключительно из чтения в свободное время и опыта, полученного в игре Kerbal Space Program. Может ли кто-нибудь более уверенный в себе расширить мое представление о гравитационной рогатке?

Охотник на оленей

maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/Psling/sling.pdf

пользователь6738

@DeerHunter Но здесь это не запрещено , и я приму это, потому что это хорошо!

пользователь6738

Думаю, ожидание того стоило :)

фибонатический

Похожий вопрос был задан на бирже физического стека. Мой ответ пришел к тому же уравнению, что и ответ Марка Адлера, но содержит немного больше выводов, поэтому может быть также полезен.

Александр Иванов

@fibonatic Эй, у меня был вопрос о вашем ответе, но, поскольку у меня недостаточно репутации, чтобы комментировать обмен физическими стеками, я спрошу здесь. Во-первых, я не понимаю, что вы подразумеваете под этим: «истинная аномалия, которая по определению равна нулю в периапсисе, и, следовательно, максимальная величина изгиба будет примерно вдвое больше истинной аномалии при 𝑟=∞». Я понимаю, что TA = 0 в перицентре, но я не понимаю, почему это подразумевает, что максимальный изгиб, следовательно, в два раза больше TA при 𝑟=∞. Если бы вы могли объяснить это для меня, я был бы очень признателен!

Александр Иванов

@fibonatic Мне также было интересно, почему используется гиперболическая избыточная скорость вместо просто входящей скорости космического корабля (насколько я знаю, это не одно и то же). Мне трудно понять, как v∞ имеет смысл в этом контексте, поскольку это скорость на бесконечном расстоянии от небесного тела, и для вашего ответа вы, кажется, принимаете ее за приближающуюся скорость космического корабля (это, по сути, отношение, которое вы доказательство: как влияет входящая скорость на изменение скорости). И поэтому, если вы также можете объяснить это, это было бы очень признательно.

фибонатический

@AlexanderIvanov Чтобы ответить на оба вопроса, я использовал, что для достаточно эксцентричных орбит с достаточно низким перицентром входящая и исходящая траектории хорошо аппроксимируются линией, а на расстоянии, где влияние планеты становится незначительным, кумулятивное изменение скорости из-за этой планеты также незначителен. В этом случае можно сказать, что приближающаяся скорость космического корабля примерно равна гиперболической избыточной скорости, а ТА при столкновении примерно равна ТА при 𝑟=∞ и, таким образом, при выходе в перицентр вы заметаете угол ТА при 𝑟=∞ и уходя, вы подметаете еще один ТА в 𝑟=∞.

Александр Иванов

@fibonatic Думаю, я понимаю. Таким образом, ЦА в конкретный момент входа в сферу или влияние планеты – это ЦА при 𝑟=∞ (потому что 𝑟 в этой точке равно ∞). Затем r становится равным 0 в периапсисе, а затем возвращается к ∞ при выходе из планеты. И тогда это максимальный угол отклонения, который будет равен 180° (при высоком е). Мне также было интересно, почему ваша формула для угла отклонения отличается от приведенной здесь: space.stackexchange.com/questions/6504/… это потому, что у вас максимальный угол?

фибонатический

@AlexanderIvanov небольшая поправка заключается в том, что r не обязательно достигает 0 в перицентре (только если высота перицентра равна нулю, но тогда космический корабль врежется в планету). А другая формула угла отклонения отличается только постоянной

π

$\pi$ таким образом, 180 градусов, так как эта формула вычисляет фактическое отклонение скорости, в то время как моя вычисляет угол поворота при прохождении планеты (но ее было легче вывести).

Александр Иванов

@fibonatic Хорошо, спасибо за объяснения. Мне также было интересно, не могли бы вы объяснить мне, как вы пришли к формуле для детла-в. Я знаю, как выразить дельта-v (v_out - v_in) через v∞, гелиоцентрическую скорость планеты и угол между этими двумя векторами (используя закон косинуса), но когда я увидел вашу формулу, она выглядит намного проще ( вам не нужно знать гелиоцентрическую скорость в нужное время или угол между v∞ и скоростью планеты). К сожалению, я понятия не имею, что вы сделали (я знаю, что это глупый вопрос, но я не смог найти никаких объяснений в Интернете).

Александр Иванов

Или, если вы знаете, где я мог бы найти вывод в Интернете, потому что я искал, но трудно даже найти формулу, упомянутую где-то, а когда я это делаю, нет никакого объяснения, откуда она взялась.

фибонатический

@AlexanderIvanov Мои уравнения уже предполагают, что скорость, которую вы даете, относится к планете при столкновении. Он также прямо не говорит, в каком направлении изменяется скорость. Таким образом, вы не можете использовать его для расчета гравитационных выстрелов. Тем не менее, это показывает, что отдача от результирующего изменения скорости уменьшается по мере того, как скорость столкновения (≈v∞) становится все больше и больше.

Ответы (2)

Сколько дельта-v мы можем выжать из гравитационной рогатки и какие факторы ее ограничивают?

@DeerHunter Но здесь это не запрещено , и я приму это, потому что это хорошо!
Похожий вопрос был задан на бирже физического стека. Мой ответ пришел к тому же уравнению, что и ответ Марка Адлера, но содержит немного больше выводов, поэтому может быть также полезен.
@fibonatic Эй, у меня был вопрос о вашем ответе, но, поскольку у меня недостаточно репутации, чтобы комментировать обмен физическими стеками, я спрошу здесь. Во-первых, я не понимаю, что вы подразумеваете под этим: «истинная аномалия, которая по определению равна нулю в периапсисе, и, следовательно, максимальная величина изгиба будет примерно вдвое больше истинной аномалии при 𝑟=∞». Я понимаю, что TA = 0 в перицентре, но я не понимаю, почему это подразумевает, что максимальный изгиб, следовательно, в два раза больше TA при 𝑟=∞. Если бы вы могли объяснить это для меня, я был бы очень признателен!
@fibonatic Мне также было интересно, почему используется гиперболическая избыточная скорость вместо просто входящей скорости космического корабля (насколько я знаю, это не одно и то же). Мне трудно понять, как v∞ имеет смысл в этом контексте, поскольку это скорость на бесконечном расстоянии от небесного тела, и для вашего ответа вы, кажется, принимаете ее за приближающуюся скорость космического корабля (это, по сути, отношение, которое вы доказательство: как влияет входящая скорость на изменение скорости). И поэтому, если вы также можете объяснить это, это было бы очень признательно.
@AlexanderIvanov Чтобы ответить на оба вопроса, я использовал, что для достаточно эксцентричных орбит с достаточно низким перицентром входящая и исходящая траектории хорошо аппроксимируются линией, а на расстоянии, где влияние планеты становится незначительным, кумулятивное изменение скорости из-за этой планеты также незначителен. В этом случае можно сказать, что приближающаяся скорость космического корабля примерно равна гиперболической избыточной скорости, а ТА при столкновении примерно равна ТА при 𝑟=∞ и, таким образом, при выходе в перицентр вы заметаете угол ТА при 𝑟=∞ и уходя, вы подметаете еще один ТА в 𝑟=∞.
@fibonatic Думаю, я понимаю. Таким образом, ЦА в конкретный момент входа в сферу или влияние планеты – это ЦА при 𝑟=∞ (потому что 𝑟 в этой точке равно ∞). Затем r становится равным 0 в периапсисе, а затем возвращается к ∞ при выходе из планеты. И тогда это максимальный угол отклонения, который будет равен 180° (при высоком е). Мне также было интересно, почему ваша формула для угла отклонения отличается от приведенной здесь: space.stackexchange.com/questions/6504/… это потому, что у вас максимальный угол?
@AlexanderIvanov небольшая поправка заключается в том, что r не обязательно достигает 0 в перицентре (только если высота перицентра равна нулю, но тогда космический корабль врежется в планету). А другая формула угла отклонения отличается только постоянной $\pi$ таким образом, 180 градусов, так как эта формула вычисляет фактическое отклонение скорости, в то время как моя вычисляет угол поворота при прохождении планеты (но ее было легче вывести).
@fibonatic Хорошо, спасибо за объяснения. Мне также было интересно, не могли бы вы объяснить мне, как вы пришли к формуле для детла-в. Я знаю, как выразить дельта-v (v_out - v_in) через v∞, гелиоцентрическую скорость планеты и угол между этими двумя векторами (используя закон косинуса), но когда я увидел вашу формулу, она выглядит намного проще ( вам не нужно знать гелиоцентрическую скорость в нужное время или угол между v∞ и скоростью планеты). К сожалению, я понятия не имею, что вы сделали (я знаю, что это глупый вопрос, но я не смог найти никаких объяснений в Интернете).
Или, если вы знаете, где я мог бы найти вывод в Интернете, потому что я искал, но трудно даже найти формулу, упомянутую где-то, а когда я это делаю, нет никакого объяснения, откуда она взялась.
@AlexanderIvanov Мои уравнения уже предполагают, что скорость, которую вы даете, относится к планете при столкновении. Он также прямо не говорит, в каком направлении изменяется скорость. Таким образом, вы не можете использовать его для расчета гравитационных выстрелов. Тем не менее, это показывает, что отдача от результирующего изменения скорости уменьшается по мере того, как скорость столкновения (≈v∞) становится все больше и больше.

Марк Адлер · Answer 1

Марк Адлер

Да, это три фактора. Ваш третий фактор проявляется как $v_\infty$ космического корабля относительно объекта. Первые два — это ГМ объекта, $\mu$ и максимальное расстояние сближения $r$ .

The $\Delta V$ вы можете получить это:

\frac{2 в_{\infty}}{1 + \frac{р в_{\infty}^{2}}{мю}}

$2\,v_\infty\over 1+{r\,v_\infty^2\over\mu}$

Как вы догадались, ниже $v_\infty$ это хорошо, так как вы проводите больше времени, так сказать, под влиянием. Но не слишком низко. $\Delta V$ поднимается как $v_\infty$ падает к $\sqrt{\mu\over r}$ , но ниже этого $\Delta V$ снова начинает снижаться.

Дельта V имеет максимум

На левой стороне кривой скорость практически не меняется. Обратите внимание, что изменение скорости полностью происходит из-за изменения направления в системе отсчета тела, выполняющего бросок. Величина $v_\infty$ на выходе точно такая же величина, как на входе. Изменение направления называется изгибом. Максимальный угол изгиба $\Delta V$ из $\sqrt{\mu/r}$ составляет 60°.

Джерард Пакетт

Не могли бы вы объяснить

v_{\infty}

$v_\infty$ срок немного? Вы не можете измерить его на бесконечности.

v

$v$ на краю сферы влияния? Расстояние до сферы холма? Как

v_{\infty}

$v_\infty$ определенный?

Марк Адлер

Вы можете рассчитать

v_{\infty}

$v_\infty$ от вашего текущего положения, скорости и

μ

$\mu$ тела.

ТильдалВолна

@JerardPuckett Если это поможет,

v_{\infty}

$v_\infty$ она же гиперболическая избыточная скорость .

сампатрисрис

Кто-нибудь может объяснить, что

v_{\infty}

$v_\infty$ , а также

μ

$\mu$ находятся?

Марк Адлер

v_{\infty}

$v_\infty$ - скорость объекта относительно тела на бесконечном расстоянии, а

μ

$\mu$ масса тела, умноженная на гравитационную постоянную Ньютона, т.е.

G M

$GM$ .

Александр Иванов

@MarkAdler Не могли бы вы объяснить, как вы получили, что угол изгиба, который приведет к максимальной дельта-v, составляет 60 градусов? Мне также интересно, откуда вы знаете, что оптимум 𝑣∞ находится в √𝜇/𝑟. Мне непонятно, что пик графика равен √𝜇/𝑟. И, наконец, это, наверное, глупый вопрос, но я не понимаю, почему вы разделили обе оси на √𝜇/𝑟. Если бы вы могли объяснить мне это, я был бы очень признателен!

Марк Адлер

См. этот ответ для угла изгиба. За

v_{\infty} = \sqrt{μ / r}

$v_\infty=\sqrt{\mu/r}$ , Вы получаете

e = 2

$e=2$ .

Марк Адлер

я делю на

\sqrt{μ / r}

$\sqrt{\mu/r}$ по обеим осям, чтобы получить безразмерный график, который можно использовать для любого пролета.

Марк Адлер

Совершенно очевидно, что максимум на графике приходится на

(1, 1)

$(1,1)$ . Если хочешь доказать, возьми производную от

2 x / (1 + x^{2})

$2x/\left(1+x^2\right)$ , установите это на

0

$0$ , и решить. Ты получишь

1

$1$ . (А также

- 1

$-1$ , что не представляет интереса.) Подключите его обратно, и вы получите

1

$1$ . Так это в

(1, 1)

$(1,1)$ .

Александр Иванов

@MarkAdler Понятно, спасибо. Итак, что касается угла, означает ли это, что 60° — это оптимальный угол изгиба, при котором дельта-v максимальна для любой гравитационной помощи? Верно ли в таком случае, что для помощи силы тяжести именно угол изгиба определяет изменение скорости? И если да, то какие отношения? - Может ли увеличение угла изгиба привести, например, к увеличению дельта-v?

Марк Адлер

Теперь у вас есть уравнения, необходимые для ответа на этот вопрос.

Александр Иванов

@MarkAdler Верно, я понял, спасибо, мне также было интересно, откуда взялось уравнение для дельта-v, которое вы написали в своем ответе? Я пытался найти вывод в Интернете, но очень трудно найти упоминание об этом где-либо, а когда это происходит, вывод не представлен.

Марк Адлер

@AlexanderIvanov Поскольку входящие и исходящие величины скорости одинаковы, все

Δ V

$\Delta V$ происходит от угла сгиба. Просто возьмите два вектора скорости с величиной

v_{\infty}

$v_\infty$ где угол между ними

δ

$\delta$ . Вычтите эти два вектора. Величина этой разницы равна

Δ V

$\Delta V$ .

Александр Иванов

@MarkAdler Да, я понимаю, что это треугольник, но я не понимаю, как представить дельта-v с точки зрения гиперболической избыточной скорости, высоты перицентра и гравитационного параметра. Это то, что я пытался сделать в своем ответе, но мне это не удалось. Я также понимаю, что использовал формулу для эксцентриситета с точки зрения 𝑣∞, r и 𝜇, но я также не знаю, откуда это взялось.

Марк Адлер

С помощью треугольника вы можете получить

Δ V

$\Delta V$ с точки зрения

v_{\infty}

$v_\infty$ а также

δ

$\delta$ . Из формул в ответе, который я связал выше, вы можете получить его с точки зрения других параметров, которые вы указали.

Марк Адлер

Слишком много для комментариев. Вам нужно задать новый вопрос.

Левел-Ривер-Стрит · Answer 2

Как указано в превосходном ответе Марка Адлера, максимально возможное значение DeltaV возникает при следующих условиях:

$V_{\infty \text{ for maximum } \Delta \text{V}} = \sqrt{\mu/r}$ .

Табличные значения этой величины трудно найти. Но скорость убегания на расстоянии $r$ дан кем-то

$\text{Escape Velocity} = \sqrt{2\mu/r}$ .

Табличные значения скоростей убегания на поверхности (хотя и не имеющие прямого отношения к рогатке) найти намного проще, и все, что нам нужно сделать, чтобы преобразовать их, — это разделить на $\sqrt{2}$ .

Например , на http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/ указаны скорости убегания для всех планет Солнечной системы, а также для Луны. Он также дает их орбитальные скорости (вокруг Солнца для планет и вокруг Земли для Луны).

Для планет земной группы орбитальная скорость вокруг Солнца в несколько раз превышает скорость убегания планеты, и можно представить себе ситуацию, когда $V_{\infty}$ равно (или больше) $\sqrt{\mu/r}$ .

С другой стороны, для планет-гигантов (Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун) орбитальная скорость вокруг Солнца в несколько раз меньше скорости убегания планеты. Трудно представить себе траекторию, по которой космический корабль с Земли приблизился бы к одной из этих планет с относительной скоростью, намного превышающей орбитальную скорость планеты[1]. На практике это может затруднить $V_{\infty}$ приблизиться к пределу $\sqrt{\mu/r}$ [1], поэтому может быть трудно воспользоваться всеми преимуществами $\Delta V$ доступны из гравитации планеты.

Однако мы можем получить много изменений направления от планеты при более низких $V_{\infty}$ (потенциально до почти 180 градусов для самого низкого $V_{\infty}$ ценности.)

[1] РЕДАКТИРОВАТЬ: чтобы уточнить, добавьте «под удобным углом». Смотрите комментарии (очевидно, это зависит от конкретной миссии, все миссии разные.)

@MarkAdler 1. Я говорю об орбитальной скорости планеты вокруг Солнца, которая совершенно не связана со скоростью убегания планеты. Извините, если это было неясно.
@MarkAdler 2. Судя по ссылке, у Юпитера Vescape=59,5 км/с при 1 баре. Давайте используем больший радиус, где Vescape=49,5 км/с, чтобы не попасть в атмосферу. Орбитальная скорость теперь составляет 49,5/sqrt(2)=35 км/с, а Vinf для max dV также составляет 49,5/sqrt(2)=35 км/с. Вполне возможно, что комета может приблизиться к Юпитеру с такой скоростью или к космическому кораблю в будущем. Но поскольку Юпитер вращается вокруг Солнца со скоростью 13,1 км/с, аппарат должен приблизиться к нему со скоростью 35-13,1=21,9 км/с по ретроградной орбите, чтобы получить Vinf 35 км/с. Я не могу представить, какая траектория миссии могла бы сделать это с современными технологиями.
@MarkAdler New Horizons получил около 4 км/с от Юпитера. Самая большая гравитационная поддержка Юпитера, которую я могу найти, — это «Вояджер-2», скорость которого составляет около 10–15 км/с (от Сатурна он тоже получил немного больше). Юпитер Я хотел бы услышать об этом (найти подробную информацию о траектории в Интернете не так просто). Экономия огромна (экспоненциальная для химических ракет), но только если планета направит вас в нужном вам направлении. Я хотел получить представление о цифрах и сравнить то, что может быть достигнуто теоретически, с тем, что может быть достигнуто с пользой.
Это было непонятно — редактирование определенно помогает. Я удалил комментарии.
Нетрудно представить себе случаи, когда подход $v_\infty$ до планеты-гиганта больше, чем скорость этой планеты по орбите вокруг Солнца, поскольку «Вояджер-2» сделал это как минимум дважды. Во время пролета Юпитера "Вояджер-2" уже достиг скорости убегания от Солнца и к моменту достижения Урана двигался со скоростью около 21 км/с относительно Солнца. Орбитальная скорость Урана вокруг Солнца составляет около 6,8 км/с, поэтому $v_\infty$ должна быть не менее 14 км/с. "Вояджер-2" двигался со скоростью 20 км/с у Нептуна, скорость которого на солнечной орбите составляет 5,4 км/с.
@MarkAdler, ты прав! Опять проблема, похоже, в моей формулировке. "Вояджер-2" шел по прямой радиальной траектории, когда столкнулся с Ураном. Из информации, которую я видел, кажется маловероятным, что извлечение полного dV из Урана добавило бы больше гелиоцентрической скорости, чем было фактически добавлено (и, возможно, уменьшило бы ее). Вояджер-2 получил около 5 км/с от Урана, около 1/ 3 теоретического dV, и он фактически потерял гелиоцентрическую скорость на Нептуне, хотя произошло большое изменение плоскости (я не уверен, хотели ли они выйти из плоскости конечной траектории или это было для наблюдения за Тритоном)
Это было наблюдать за Тритоном. Это была основная цель, которая определила геометрию пролета Нептуна.

Сколько дельта-v мы можем выжать из гравитационной рогатки и какие факторы ее ограничивают?

пользователь6738

Охотник на оленей

пользователь6738

пользователь6738

фибонатический

Александр Иванов

Александр Иванов

фибонатический

Александр Иванов

фибонатический

Александр Иванов

Александр Иванов

фибонатический

Ответы (2)

Марк Адлер

Джерард Пакетт

Марк Адлер

ТильдалВолна

сампатрисрис

Марк Адлер

Александр Иванов

Марк Адлер

Марк Адлер

Марк Адлер

Александр Иванов

Марк Адлер

Александр Иванов

Марк Адлер

Александр Иванов

Марк Адлер

Марк Адлер

Левел-Ривер-Стрит

Левел-Ривер-Стрит

Левел-Ривер-Стрит

Левел-Ривер-Стрит

Марк Адлер

Марк Адлер

Левел-Ривер-Стрит

Марк Адлер