Сколько delta-v я использовал здесь? Каково «официальное» уравнение для дельта-v от параметрической тяги?

Я сделал перерыв в Stack Exchange, прыгнул в свою космическую машину и написал следующую закорючку:

начиная с xyz = [-0.01, 0, -0.05]и v_xyz = [0, -0.2, 0]с общим временем полета$2 \pi$.

Когда я вернулся домой, мне сказали: «О, это была прекрасная закорючка Лиссажу, но сколько дельта-V вы нанесли на машину? »

Я сказал: «О, не так уж много» и направился к своему компьютеру, чтобы вернуться на Stack Exchange.

Вопрос: Сколько delta-v я использовал?

1. Если у меня есть вектор ускорения (такой же, как вектор тяги; допустим, масса не меняется) как функция времени$\mathbf{F}(t)$какое общее интегральное выражение для общей дельты-v следует использовать?
2. Если бы кто-нибудь просмотрел мою поездку в Horizons и получил мои векторы состояния$\mathbf{x}(t)$и$\mathbf{v}(t)$и имели числовой интегратор и интерполятор, какое общее интегральное выражение для общего дельта-v они должны использовать?

«бонусные баллы» за включение скрипта Python в ваш ответ

Трехмерный график положения (возврат в исходное положение) и графики компонентов скорости

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from scipy.integrate import odeint as ODEint

def deriv(X, t):
    x, v = X.reshape(2, -1)
    ax = np.cos(10*t)
    ay = np.sin(5*t)
    az = np.cos(2* t)
    return np.hstack((v, [ax, ay, az])) 

times = np.linspace(0, 2*np.pi, 1001)

X0 = np.hstack(([-0.01, 0, -0.05], [0, -0.2, 0]))

answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True)

xyz, vxyz = answer.T.reshape(2, 3, -1)

fig = plt.figure()
ax  = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection='3d', proj_type = 'ortho')
x, y, z = xyz
ax.plot(x, y, z)
ax.plot(x[:1], y[:1], z[:1], 'ok')
ax.plot(x[-1:], y[-1:], z[-1:], 'or')
plt.show()

for thing in vxyz:
    plt.plot(thing)
plt.show()