Сколько существует решений Онзагера?

Я примерно на полпути к самой важной части статьи Онсагера, поэтому я попытаюсь обобщить то, что я понял до сих пор, я отредактирую позже, когда мне будет что сказать.

Онзагер начинает с использования 1D-модели, чтобы проиллюстрировать свою методологию и исправить некоторые обозначения, поэтому я буду следовать его примеру, но буду использовать более «современные» обозначения.

В одномерной модели Изинга взаимодействуют только соседние спины, поэтому энергия взаимодействий представлена ​​как

$$E=-J\mu^{(k)}\mu^{(k-1)}$$

куда$J$является силой взаимодействия.

Функция раздела

$$Z = \sum_{\mu^{(1)},\ldots,\mu^{(N)}=\pm 1} e^{-\sum_k J\mu^{(k)}\mu^{(k-1)}/kT}$$

Онзагер отмечает, что экспоненту можно рассматривать как матричный компонент:

$$\langle \mu^{(k-1)}| V | \mu^{(k)} \rangle = e^{-J\mu^{(k)}\mu^{(k-1)}/kT}$$

Сумма разбиения становится следом матричного произведения в этих обозначениях.

$$Z = \sum_{\mu^{(1)},\mu^{(N)}=\pm 1} \langle \mu^{(1)}| V^{N-1} | \mu^{(N)} \rangle$$

Итак, для больших мощностей$N$из$V$, наибольшее собственное значение будет доминировать. В таком случае,$V$это просто$2\times 2$матрица, а наибольшее собственное значение равно$2\cosh(J/kT)=2\cosh(H)$, представляя$H=J/kT$.

Теперь для построения 2D-модели Изинга Онзагер предлагает строить ее, добавляя 1D-цепочку к другой 1D-цепочке, а затем повторять процедуру для получения полной 2D-модели.

Во-первых, он отмечает, что энергия вновь добавленной цепи$\mu$будет зависеть от цепи$\mu'$к которому добавляется следующее:

$$E = -\sum_{j=1}^n J \mu_j \mu'_j$$

Но если мы возведем это в степень, чтобы перейти к формуле разбиения, мы получим$n$степень матрицы, которую мы определили ранее, поэтому, используя обозначения, введенные там Онзагером

$$V_1 = (2 \sinh(2H))^{n/2} \exp(H^{*}B)$$

с$H^{*}=\tanh^{-1}(e^{-2H})$а также$B=\sum_j C_j$с$C_j$матричный оператор, который работает с цепью следующим образом

$$C_j |\mu_1,\ldots,\mu_j,\ldots,\mu_n \rangle = |\mu_1,\ldots,-\mu_j,\ldots,\mu_n \rangle$$

Затем, чтобы учесть энергетический вклад спинов в цепи, он отмечает, что полная энергия равна

$$E = -J' \sum_{j=1}^n \mu_j\mu_{j+1}$$

добавление периодичности, то есть$n$й атом является соседом 1-го. Также обратите внимание, что сила взаимодействия не должна быть равна силе межцепочечного взаимодействия. Он вводит новые матричные операторы$s_j$которые действуют на цепь как

$$s_j|\mu_1,\ldots,\mu_j,\ldots,\mu_n \rangle = \mu_j |\mu_1,\ldots,\mu_j,\ldots,\mu_n \rangle$$

и таким образом строит матрицу

$$V_2 = \exp(H'A) = \exp(H'\sum_j s_j s_{j+1})$$

Теперь 2D-модель можно построить, добавив цепочку с помощью приложения$V_1$а затем определить внутренние взаимодействия с помощью$V_2$. Таким образом, получается следующая цепочка операций

$$\cdots V_2 V_1 V_2 V_1 V_2 V_1 V_2 V_1 V_2 V_1$$

Таким образом, ясно, что матрица для анализа в нашей 2D-модели имеет вид$V=V_2 V_1$. Это наша новая проблема собственных значений:

$$\lambda | \mu_1,\ldots,\mu_n \rangle = \exp(H'\sum_j s_j s_{j+1}) \sum_{\mu'_1,\ldots,\mu'_n=\pm 1} \exp(H\sum_j \mu_j \mu'_{j})| \mu'_1,\ldots,\mu'_n \rangle$$

Теперь в игру вступают кватернионы. Онзагер отмечает, что операторы$s_j$а также$C_j$он построил форму кватернионной алгебры.

В основном базовые элементы$(1,s_j,C_j,s_jC_j)$генерировать кватернионы, и поскольку для разных$j$Если операторы коммутируют, мы имеем тензорное произведение кватернионов, то есть кватернионную алгебру.

-- Продолжение следует --

Я хотел бы отдать должное вашему вопросу, но ограничусь замечанием о связи между двумя методами решения, упомянутыми в статье Барри МакКоя, а именно методом коммутирующей передаточной матрицы Бакстера и оригинальным алгебраическим подходом Онзагера.

В определенном смысле эти методы следует считать разными, поскольку метод Бакстера применим к обширному семейству дополнительных моделей, тогда как метод Онзагера применим только к моделям Изинга и близкородственным моделям. Связанный с этим факт заключается в том, что, хотя свободная энергия и параметр порядка были вычислены для очень многих двумерных моделей, только для Изинга корреляционные функции полностью понятны. (Их можно записать в терминах простых определителей.) Среди решаемых двумерных моделей модель Изинга выглядит особенной. Она лежит на пересечении множества бесконечных семейств моделей. Хотя все разрешимые решеточные модели имеют множество неожиданных структур — в частности, они имеют бесконечно много сохраняющихся величин — Изинг еще более особенный. Онзагер

Поскольку метод коммутирующей передаточной матрицы Бакстера не использует эту особую структуру, его можно использовать для решения многих других моделей, в которых ее нет. В его методе используется соотношение Янга-Бакстера, чтобы установить, что матрицы переноса коммутируют для разных значений спектрального параметра (который в модели Изинга параметризует разницу между горизонтальной и вертикальной силой связи). Поскольку собственные векторы должны поэтому не зависеть от спектрального параметра, можно вывести функциональные соотношения для собственных значений, которые затем могут быть решены.

Метод Онзагера был расширен Доланом и Грейди, которые показали, что определенный набор коммутационных соотношений подразумевает существование бесконечного набора законов сохранения. В 1980-х годах было обнаружено разрешимое обобщение модели Изинга с n состояниями, известное как суперинтегрируемая киральная модель Поттса, которое удовлетворяет условиям Долана и Грейди и, как следствие, имеет передаточные матрицы с той же структурой прямого произведения, которую использовал Онзагер. в 1944 г. Интересно, что суперинтегрируемая киральная модель Поттса соответствует особой точке в однопараметрическом семействе разрешимых моделей — интегрируемых киральных моделей Поттса. Последние разрешимы методом Бакстера, но могут быть решены методом Онзагера только в суперинтегрируемой точке.

Другие методы решения, которые Барри Маккой упоминает в своей статье в Scholarpedia, — свободные фермионы Кауфмана, комбинаторный метод, 399-е решение Бакстера и Энтинга — также, по-видимому, используют особую структуру модели Изинга. В этом смысле они больше похожи на исходный метод Онзагера, чем на метод коммутирующих передаточных матриц Бакстера. Как вы уже предположили, среди них могут быть некоторые эквиваленты, но я должен был бы уделить этому больше внимания, прежде чем комментировать дальше.

Поскольку никто не пытается дать ответ, я попробую сам.

Вскоре после написания этого вопроса я узнал (в этом милом ответе Раскольникова ) о замечательной книге Бакстера о точных решениях в статистической механике. Медленно, но верно я понял, что модель Изинга решалась столько раз самыми разными методами практически всеми известными физиками (некоторые решения я приведу позже), что стало ясно, что мой вопрос, надеюсь, неадекватен и лишь отражает мою огромную невежество.

Чтобы компенсировать это, я начал читать газеты. Сама статья Онсагара вышла в 1944 г. В 1949 г. появилась статья Брурии Кауфман, в которой она отмечает, что трансфер-матрицу можно интерпретировать как$2^n$-мерное представление$2n$-мерные вращения. Поэтому она вводит спинорный анализ (например, матрицы Паули и Дирака) и приступает к решению проблемы. Я должен сказать, что мне нравится этот подход (хорошо, вы меня поняли, я групповой человек).

В 1952 г. Кац и Уорд использовали чисто комбинаторный метод некоторых многоугольников (в чем я еще не совсем разобрался, но, вероятно, он связан с контурами Пайерла). В других работах отмечается двойственность со свободным фермионным полем. Или обратите внимание, что Изинг — это всего лишь частный случай случайной кластерной модели; или димерная модель. Эти документы носят такие имена (в произвольном порядке), как Поттс, Уорд, Кац, Кастелейн, Ян, Бакстер, Фишер, Монтролль и другие. Совершенно очевидно, что мне потребуется некоторое время, чтобы понять (или даже прочитать) все эти бумаги.

Поэтому я пошел другим путем и воспользовался запросом Google . Запрос всех названий выше сразу возвращает драгоценные камни:

1. Удивительная статья в Scholarpedia. Он содержит историческую справку, основные методы решения, ссылки на упомянутые мной работы и многое другое.
2. бумага История модели Lenz-Ising
3. статья Спонтанное намагничивание модели Изинга

Не говоря об очевидном, но кажется, что информация в научной статье, которую @marek упомянул в своем ответе, является более исчерпывающей, чем любой ответ, который я или кто-либо другой может дать.

Цитируя эту статью, «существует пять различных методов , которые использовались для вычисления свободной энергии модели Изинга». Для получения подробной информации лучше всего перейти по ссылке выше. Все, что я добавлю, будет просто повторением.

Что касается награды, она должна достаться Барри Маккою - автору статьи в стипендии ;)