Теория среднего поля в одномерной модели Изинга

Подход теории среднего поля к модели Изинга дает критическую температуру к Б Т С "=" д Дж , где д число ближайших соседей и Дж есть взаимодействие в гамильтониане Изинга. Параметр д "=" 2 для одномерного случая дает к Б Т С "=" 2 Дж . Основываясь на этом аргументе, в одномерной модели Изинга произошел бы фазовый переход. Это явно неправильно.

Является ли теория среднего поля недействительной для одномерного случая? Я что-то упустил здесь?

Ответы (1)

Да, теория среднего поля неверна для одномерного случая (а также неверна для двух- и трехмерного случаев, где переход существует, но приближение среднего поля дает неправильную критическую температуру и показатели). На самом деле это типичное упражнение первого года обучения для точного решения одномерной модели Изинга с использованием передаточных матриц, и я предлагаю вам изучить это.

Природа приближения среднего поля состоит в том, что оно предполагает отсутствие тепловых флуктуаций вокруг предложенного вами приближенного решения (т. е. состояния с ферромагнитным порядком), но в малых размерностях это приближение часто качественно неверно.

Теория среднего поля модели Изинга оказывается точной в 4-х измерениях, но более сложные фазовые переходы не могут быть хорошо описаны теорией среднего поля даже для более высоких измерений (это называется «верхним критическим измерением»).

Есть ли интуитивное объяснение тому, почему тепловые флуктуации играют более важную роль при меньшем количестве измерений?
Благодаря квантово-классическому отображению мы можем понимать флуктуации в целом как простые классические невзаимодействующие системы, например канонический ансамбль Н свободные частицы в д пространственные размеры. Из теоремы о равнораспределении имеем ⟨ Е ⟩ "=" д / 2 Н к Т ∼ д Н . Флуктуация энергии определяется средним по ансамблю ⟨ Δ Е 2 ⟩ "=" − ∂ ⟨ Е ⟩ ∂ β ∼ д Н . Таким образом, у нас есть ⟨ Δ Е 2 ⟩ / ⟨ Е ⟩ ∼ 1 д Н , то есть флуктуация меньше, если у нас больше частиц в более высоких измерениях.
В конечном итоге это сводится к числу степеней свободы системы, которое равно д Н в этом случае. И что флуктуация масштабируется обратно пропорционально д Н можно рассматривать как следствие центральной предельной теоремы.
Теория среднего поля в одномерной модели Изинга
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v