Скорость столкновения броуновских частиц с поверхностью

Рассмотрим трехмерный ящик объемом$V$, содержащий$N$идентичные броуновские частицы. Отмечается коэффициент диффузии частиц$D$. Внутри этого ящика находится квадратная поверхность площадью$L^2$.

Чтобы все было как можно проще, размеры ящика намного больше, чем у поверхности, а размеры поверхности намного больше, чем у броуновских частиц. Более того, броуновские частицы не взаимодействуют друг с другом и не взаимодействуют с поверхностью.

Какой тариф$j$при каких частицах пересекают поверхность?

---

---

Попытка 1: я попытался объединить интуицию и размерный анализ.$j$физические измерения - число/время. Если площадь поверхности в два раза больше,$j$вдвое больше, а$j \propto L^2$. Если частиц в два раза больше,$j$будет в два раза больше, а$j \propto N$. Если объем ящика в два раза меньше, это эквивалентно количеству частиц в два раза больше, и$j \propto 1/V$. Последние два соображения сводятся к$j$пропорциональна концентрации частиц$N/V$. Чтобы соответствовать правильным физическим размерам количества$j$, мне также нужно количество, которое включает время.$D$- единственная величина, зависящая от времени в моей задаче, и выражается как длина^2/время. Поэтому я должен иметь$j \propto D$. В итоге у меня есть

$$j \propto \frac{N}{V}L^2D$$

Это неправильно, поскольку размеры не совпадают: размер левой стороны равен 1/время, а размер правой стороны — длина/время.

Я думаю, что правильный ответ$j \propto \frac{N}{V}L D$но мне это не имеет смысла, так как на мой взгляд$j$должны масштабироваться с$L^2$.

Что мне не хватает? Может быть, длина свободного пробега тоже имеет значение?

---

---

Попытка 2 . Я также попытался решить проблему с точки зрения моделирования и дискретизировал как время, так и пространство. Итак, теперь$N$частицы случайным образом распределены по трехмерной решетке, узлы которой представляют собой кубы размерности$a$. Поверхность совмещена с осью решетки для простоты. Каждый временной шаг$\Delta t$, частицы перескакивают на случайно выбранный соседний сайт. Концентрация частиц настолько мала, что вероятность того, что две частицы займут одно и то же место, ничтожно мала.

За один временной шаг$\Delta t$, единственными частицами, которые имеют шанс пересечь поверхность, являются частицы, расположенные на участках, прилегающих к поверхности. Общее количество таких сайтов

$$2 \frac{L^2}{a^2} \ .$$ Вероятность того, что любой заданный узел занят частицей, равна $$\frac{N a^3}{V} \ .$$ Для любой данной частицы, находящейся на участке, примыкающем к поверхности, вероятность пересечения поверхности за время $\Delta t$является $1/6$(поскольку частицы случайным образом выбирают одно направление из шести доступных направлений).

Поэтому среднее число частиц, пересекающих поверхность за время$\Delta t$является

$$\frac{N a L^2}{3 V} \ .$$ Поскольку каждый временной шаг эквивалентен, количество частиц, пересекающих поверхность в единицу времени $\Delta t$, является $$\frac{N a L^2}{3 V \Delta t} \ .$$

Теперь нам нужно связать коэффициент диффузии$D$к размеру решетки$a$и шаг по времени$\Delta t$. Это проблема дискретного случайного блуждания, и решение

$$D = { \frac{a^2}{2 \Delta t}} \ .$$

Таким образом, находим скорость$j$пересечения:

$$j=\frac{2}{3} \frac{N}{V} \frac{L^2}{a} D$$

На мой взгляд размер решетки$a$можно интерпретировать как длину свободного пробега.

Теперь я восстанавливаю масштабирование с помощью$L^2$, но меня не устраивает такой результат, т.к.$D$является функцией$a$и$\Delta t$.