Скорость убегания для метрики Шварцшильда

Question

Скорость убегания для метрики Шварцшильда

JCW

Я не могу заполнить пробелы в своем решении, и помощь или ссылка будут оценены.

Вопрос начинается с прямого вывода EoM для массивной частицы, вращающейся в экваториальной плоскости, как

{(\frac{г ты}{г ф})}^{2} "=" \frac{с^{2} к^{2}}{{час}^{2}} - α (\frac{с^{2}}{{час}^{2}} + {ты}^{2})

$\left( \frac{du}{d\phi}\right)^2 = \frac{c^2 k^2}{h^2} - \alpha \left( \frac{c^2}{h^2} + u^2 \right)$ где

u = \frac{1}{r}

$u = \frac{1}{r}$ ,

h, k

$h, k$ константы, возникающие как

α \dot{t} = k

$\alpha \dot{t} = k$ и

\dot{ϕ} = h u^{2}

$\dot{\phi} = h u^2$ , и

α = 1 - \frac{r_{s}}{r}

$\alpha = 1-\frac{r_s}{r}$ где

r_{s}

$r_s$ радиус Шварцшильда.

Затем он говорит, что стационарный экспериментатор в радиусе $a > r_s$ проецирует массивную частицу со скоростью $v$ нормали к радиальному направлению, и просит меня показать, что в случае $h^2 > 3 r_s^2 c^2$ частица вылетит, если $v$ превышает скорость убегания, близкую по форме к ньютоновской.

Ясно, что приведенное выше условие ограничивается случаем трех действительных корней, и я думаю, что условие, которое я хочу, состоит в том, чтобы наименьший корень приведенного выше кубического (есть дополнительный $u$ в $\alpha$ ) является $\leqslant 0$ , хотя я не совсем уверен, почему это необходимо/достаточно. Учитывая это, я получаю результат $v \geqslant \sqrt{\frac{2GM}{a}}$ .

Является ли этот результат правильным? И может ли кто-нибудь объяснить, почему это условие является правильным?

Джинави

Результат здесь: xphysics.wordpress.com/2011/02/20/… .

Колин МакЛорин

Эта ссылка предполагает радиальное движение

Ответы (1)

Скорость убегания для метрики Шварцшильда

Результат здесь: xphysics.wordpress.com/2011/02/20/… .
Эта ссылка предполагает радиальное движение

Джон Донн · Answer 1

Позволять $f(u)$ — многочлен третьей степени, так что

\begin{matrix} (*) & {(\frac{г ты}{г ф})}^{2} "=" ф (ты) \end{matrix}

$\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2 = f(u)\tag{*}$ Экспериментатор начинает с

u = 1 / a

$u=1/a$ и должен достигать бесконечности,

u = 0

$u=0$ . Ключевым моментом является то, что если

f (u)

$f(u)$ отрицательный где-то в области

0 < u < 1 / a

$0<u<1/a$ , то уравнение движения

(*)

$(*)$ предотвращает пересечение отрицательной области, поэтому вы не можете достичь бесконечности. Другими словами, если

u (θ)

$u(\theta)$ решает

(*)

$(*)$ затем

f (u) > 0

$f(u)>0$ ; с

u

$u$ непрерывно, вы не можете подключиться

1 / a

$1/a$ к

0

$0$ если

f

$f$ является отрицательным где-то посередине.

Теперь это вопрос обычного исчисления, чтобы определить форму $f$ : мы узнаем, что он имеет ровно один корень $u_\ast$ В диапазоне $u<r_s$ и что $f<0$ для $u<u_\ast$ и $f>0$ для $u_\ast<u<1/r_s$ . С $f$ должен быть положительным для $0<u<1/a<1/r_s$ , мы должны иметь $u_\ast<0$ .

Является ли это правильным уравнением, зависит от того, что вы имеете в виду, т.е. см. этот вопрос.

Скорость убегания для метрики Шварцшильда

JCW

Джинави

Колин МакЛорин

Ответы (1)

Джон Донн

Какова связь между орбитальной скоростью и скоростью убегания в сильно релятивистских ситуациях?

Негеодезическая круговая орбита? [закрыто]

Проблема кривизны пространства-времени, черных дыр и планетарных орбит

Площадь поверхности черной дыры на радиусе Шварцшильда составляет половину?

Что происходит, когда стабильная орбитальная скорость приближается к скорости света?

Почему орбиты вокруг черных дыр стабильны?

Превышает ли скорость убегания черной дыры ccc до создания сингулярности?

Почему Эйнштейн ошибался насчет черных дыр?

Фильм Интерстеллар - Вопрос о скорости убегания

Максимальное время вблизи черной дыры