Негеодезическая круговая орбита? [закрыто]

Question

Негеодезическая круговая орбита? [закрыто]

Райан Унгер

Из Н. Штраумана, Общая теория относительности

Упражнение 4.9. Рассчитайте радиальное ускорение для негеодезической круговой орбиты в пространстве-времени Шварцшильда. Покажите, что это становится положительным для $r>3GM$ . Этот противоречивый результат вызвал множество дискуссий.

Это одна из тех проблем, когда я совершенно не знаю, что делать. Поскольку там сказано, что это не геодезические, я не могу использовать обычные уравнения. Я не знаю, какое уравнение решить. Может быть, я решаю $\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=f$ с $f$ какая-то сила, которая заставляет $\gamma$ негеодезический. Но я не знаю, куда идти оттуда, если это способ сделать это.

Также какие-либо конкретные ссылки на обсуждения?

Любая помощь будет принята с благодарностью.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Итак, я попытался решить $\nabla_u u=f$ с ограничениями $\theta=\pi/2$ , $u^\theta=0$ и $u^r=0$ . lionelbrits объяснил, я также должен добавить $\dot u^r=0$ в мой список. Это все приводит к

(р_{С} - 2 А р) ({ты}^{ф})^{2} + \frac{р_{С}}{р^{2}} "=" ф^{р}

$(r_S-2Ar)(u^\varphi)^2+\frac{r_S}{r^2}=f^r$ (

A = 1 - r_{S} / r

$A=1-r_S/r$ , обозначения стандартные Шварцшильда) Проблема в том, что

u^{φ}

$u^\varphi$ термин отрицательный для

r > 3 m

$r>3m$ . Значит, где-то запороли табличку, и хоть убей, не знаю, где она. Достойная документация моей работы: http://www.texpaste.com/n/a6upfhqo , http://www.texpaste.com/n/dugoxg4a .

Джерри Ширмер

Вы можете найти общий путь с помощью

\dot{r} = 0, θ = π / 2

$\dot r = 0, \theta = \pi/2$ . Тогда, да, вы просто вычисляете этот срок ускорения.

Джерри Ширмер

правильный. Любая кривая должна иметь единичную длину.

Райан Унгер

@Jerry Schirmer Что мне делать с

2 Γ_{t t}^{r} (u^{t})^{2}

$2\Gamma^r_{tt}(u^t)^2$ срок? я не уверен, что

u^{t}

$u^t$ находится в негеодезической давности. ⟨u,u⟩=−1 по-прежнему выполняется, верно?

Райан Унгер

@JerrySchirmer Что у меня есть на данный момент: texpaste.com/n/a6upfhqo . Я чувствую, что должен быть в состоянии выразить

(u^{t})^{2}

$(u^t)^2$ с точки зрения

(u^{φ})^{2}

$(u^\varphi)^2$ с использованием

⟨ u, u ⟩ = - 1

$\langle u,u\rangle=-1$ , верно?

Лайонелбритс

Да, вы решаете для

u^{t}

$u^t$ с точки зрения

u^{φ}

$u^\varphi$ используя норму вектора скорости, равную -1. В основном это просто означает, что вы правильно выбрали аффинный параметр.

Райан Унгер

@lionelbrits Хорошо, я думаю, что уже близко: texpaste.com/n/dugoxg4a

Лайонелбритс

я хочу сказать

{\dot{u}}^{r} = 0

$\dot u^r = 0$ ...

Райан Унгер

@lionelbrits Но в постановке вопроса говорится, что это положительно.

Лайонелбритс

Во-первых, правильное ускорение не то же самое, что

{\dot{u}}^{r}

$\dot u^r$ . Во-вторых, под радиальным ускорением они подразумевают центростремительное? Существует радиальное ускорение внутрь, когда вы движетесь по кругу, даже когда

r

$r$ фиксированный.

Райан Унгер

Я бы предположил, что под радиальным ускорением подразумевается радиальная составляющая ускорения. Я предполагаю, что это центростремительное, поэтому я установил

u^{r} = 0

$u^r=0$ . Под правильным ускорением ты имеешь в виду

d r / d t

$dr/dt$ ?

Лайонелбритс

Если

u^{r} = 0

$u^r = 0$ как факт, то

{\dot{u}}^{r} = 0

$\dot u^r = 0$ , также.

Райан Унгер

@lionelbrits Исчисление так не работает. Мяч имеет нулевую скорость в начале своего пути, но всегда имеет ускорение 9,8 м/с^с. Или в ГР,

Γ = 0

$\Gamma=0$ в нормальной системе координат, но

Riem \sim \partial Γ \neq 0

$\text{Riem}\sim\partial \Gamma\ne0$ . Как бы вы тогда ответили на проблему? Я разместил полный вопрос.

Лайонелбритс

Круговая орбита имеет

r = c o n s t

$r = \mathrm{const}$ . Независимо от того, сколько производных от

r

$r$ вы относитесь к

τ

$\tau$ , ноль вы получите. Я предлагаю вам учесть вашу работу в вашем вопросе, потому что он находится в одном голосе от закрытия (лично я бы оставил его открытым).

Райан Унгер

Продолжим обсуждение в чате .

Ответы (1)

Негеодезическая круговая орбита? [закрыто]

Вы можете найти общий путь с помощью $\dot r = 0, \theta = \pi/2$ . Тогда, да, вы просто вычисляете этот срок ускорения.
правильный. Любая кривая должна иметь единичную длину.
@Jerry Schirmer Что мне делать с $2\Gamma^r_{tt}(u^t)^2$ срок? я не уверен, что $u^t$ находится в негеодезической давности. ⟨u,u⟩=−1 по-прежнему выполняется, верно?
@JerrySchirmer Что у меня есть на данный момент: texpaste.com/n/a6upfhqo . Я чувствую, что должен быть в состоянии выразить $(u^t)^2$ с точки зрения $(u^\varphi)^2$ с использованием $\langle u,u\rangle=-1$ , верно?
Да, вы решаете для $u^t$ с точки зрения $u^\varphi$ используя норму вектора скорости, равную -1. В основном это просто означает, что вы правильно выбрали аффинный параметр.
@lionelbrits Хорошо, я думаю, что уже близко: texpaste.com/n/dugoxg4a
@lionelbrits Но в постановке вопроса говорится, что это положительно.
Во-первых, правильное ускорение не то же самое, что $\dot u^r$ . Во-вторых, под радиальным ускорением они подразумевают центростремительное? Существует радиальное ускорение внутрь, когда вы движетесь по кругу, даже когда $r$ фиксированный.
Я бы предположил, что под радиальным ускорением подразумевается радиальная составляющая ускорения. Я предполагаю, что это центростремительное, поэтому я установил $u^r=0$ . Под правильным ускорением ты имеешь в виду $dr/dt$ ?
Если $u^r = 0$ как факт, то $\dot u^r = 0$ , также.
@lionelbrits Исчисление так не работает. Мяч имеет нулевую скорость в начале своего пути, но всегда имеет ускорение 9,8 м/с^с. Или в ГР, $\Gamma=0$ в нормальной системе координат, но $\text{Riem}\sim\partial \Gamma\ne0$ . Как бы вы тогда ответили на проблему? Я разместил полный вопрос.
Круговая орбита имеет $r = \mathrm{const}$ . Независимо от того, сколько производных от $r$ вы относитесь к $\tau$ , ноль вы получите. Я предлагаю вам учесть вашу работу в вашем вопросе, потому что он находится в одном голосе от закрытия (лично я бы оставил его открытым).

Лайонелбритс · Answer 1

Лайонелбритс

Принцип эквивалентности говорит нам, что мы можем оценить $\nabla_u u$ в сопутствующей системе отсчета и что для геодезических мы не должны находить никакого ускорения (находящимся в свободном падении лифту кажется, что содержимое не испытывает никакого ускорения). Следовательно, если мы оценим это, когда мы не находимся вдоль геодезической (лифт сидит на земле), мы обнаружим, что оно не равно нулю. Поскольку это вектор, если он отличен от нуля в одном кадре, он должен быть отличен от нуля и в другом. Другими словами, да, $f^r$ это то, что вы должны вычислить. Ингредиент, который вам не хватает, это то, что $r=\mathrm{const}$ для круговой орбиты следует, что $\dot{u}^r = 0$ . Это не локальная вещь, это просто потому, что вы заставляете орбиту быть круговой.

Райан Унгер

Итак, сделав это на texpaste.com/n/dugoxg4a , я получаю

0 = - r_{S} (u^{φ})^{2} - \frac{r_{S}}{r^{2}} + 2 A r (u^{φ})^{2} + f^{r}

$0=-r_S(u^\varphi)^2-\frac{r_S}{r^2}+2Ar(u^\varphi)^2+f^r$ . Я думаю, что испортил знак, потому что, когда я переставляю, чтобы получить

\frac{r_{S}}{r^{2}} + (u^{φ})^{2} (r_{S} - 2 A r) = f^{r}

$\frac{r_S}{r^2}+(u^\varphi)^2(r_S-2Ar)=f^r$ , это на самом деле отрицательно для

r > 3 m

$r>3m$ . Есть идеи, что случилось?

Лайонелбритс

Это ковариантная/контравариантная проблема?

Лайонелбритс

Вы не определили

A

$A$ еще.

Райан Унгер

Я так не думаю.

r_{S} - 2 A r = 6 m - 2 r

$r_S-2Ar=6m-2r$ . Очевидно, что это отрицательное значение, когда оно должно быть положительным. С другой стороны, это не простое полное изменение знака, потому что термин

r_{S} / r^{2}

$r_S/r^2$ положительный, когда он должен быть. Так

f^{r}

$f^r$ может быть как положительным , так и отрицательным в зависимости от

(u^{φ})^{2}

$(u^\varphi)^2$ и

m

$m$ кажется.

Райан Унгер

A

$A$ определяется в OP и в ссылках в приведенном выше обсуждении.

Лайонелбритс

r_{s} - 2 A r = r_{s} - 2 r + 2 r_{s}

$r_s - 2 A r = r_s - 2r + 2 r_s$ . Ваши единицы выглядят странными, но я не уверен, что

u^{φ}

$u^\varphi$ является. В любом случае,

(u^{φ})

$(u^\varphi)$ должно быть положительным, потому что вы возводите его в квадрат. Неважно, вы имели в виду коэффициент, умножающий этот термин.

Райан Унгер

r_{S} = 2 m

$r_S=2m$ (

m = G M

$m=GM$ ), так

r_{S} - 2 A r = 6 m - 2 r

$r_S-2Ar=6m-2r$ .

u^{φ}

$u^\varphi$ это

φ

$\varphi$ составляющая скорости, которая должна быть постоянной движения. Да, меня тоже беспокоят единицы.

Негеодезическая круговая орбита? [закрыто]

Райан Унгер

Джерри Ширмер

Джерри Ширмер

Райан Унгер

Райан Унгер

Лайонелбритс

Райан Унгер

Лайонелбритс

Райан Унгер

Лайонелбритс

Райан Унгер

Лайонелбритс

Райан Унгер

Лайонелбритс

Райан Унгер

Ответы (1)

Лайонелбритс

Райан Унгер

Лайонелбритс

Лайонелбритс

Райан Унгер

Райан Унгер

Лайонелбритс

Райан Унгер

Проблема кривизны пространства-времени, черных дыр и планетарных орбит

Какова связь между орбитальной скоростью и скоростью убегания в сильно релятивистских ситуациях?

Площадь поверхности черной дыры на радиусе Шварцшильда составляет половину?

Скорость убегания для метрики Шварцшильда

Что происходит, когда стабильная орбитальная скорость приближается к скорости света?

Почему орбиты вокруг черных дыр стабильны?

Почему Эйнштейн ошибался насчет черных дыр?

Ускорение частицы, «удерживаемой на месте» при x=1x=1x = 1 [закрыто]

Максимальное время вблизи черной дыры

Заряженный акселерометр на орбите