Атом водорода с гамильтонианом, очевидно, имеет симметрия, поскольку она зависит только от радиуса.
Это создается угловым моментом .
На уроках квантовой механики мы узнаем, что есть симметрия за счет вектора Рунге-Ленца:
Даже классическая симметрия, такая как гравитация, обладает такой симметрией.
Я помню, как однажды читал, что для атома водорода существует еще большая симметрия. Возможно как в этой статье Хагена Кляйнерта.
Кто-нибудь слышал об этом?
называется полной динамической группой Кеплера (или проблемы атома водорода). , и подгруппы называются частичными динамическими группами.
В отличие от групп симметрии, которые коммутируют с гамильтонианом, динамические группы этого не делают. Они обладают следующими свойствами:
Фазовое пространство системы представляет собой коприсоединенную орбиту группы или, что то же самое,
Гильбертово пространство системы натянуто на неприводимое представление группы.
Во многих случаях, хотя это и не обязательно, сам гамильтониан является генератором динамической группы.
Эквивалентность пунктов 1. и 2. выше связана с тем, что в рассматриваемом случае имеется соответствие между коприсоединенными орбитами и неприводимыми представлениями.
Частичные динамические группы охватывают только часть спектра атома водорода через их неприводимые представления:
Ан неприводимое представление охватывает векторы состояния, соответствующие одной энергетической оболочке связанного состояния (фиксированной (и квантованной) и различные , ).
Ан неприводимое представление охватывает весь непрерывный спектр и неприводимое представление охватывает весь ограниченный спектр.
— наименьшая группа, неприводимые представления которой охватывают как непрерывный, так и дискретный спектр.
Использование представлений динамических групп сводит проблему нахождения спектра Гамильтона к алгебраической задаче, а не к решению дифференциальных уравнений.
Qмеханик