Почему энергетические уровни водорода вырождаются в ℓℓ\ell и mmm?

Вырождение энергетических уровней можно объяснить тем, что атом водорода обладает повышенной$SO(4)$симметрия , вызванная (среди прочего) сохранением векторного оператора Лапласа-Рунге-Ленца , см., например, этот пост Phys.SE и Ref. 1.

Использованная литература:

1. Г. 'т Хоофт, Введение в группы Ли в физике , конспекты лекций, глава 9. Файл в формате pdf доступен здесь .

Самый короткий и правильный ответ: это вырождение определяется симметрией системы.

Случай вырождения в атоме водорода — это так называемое «случайное вырождение», когда одной и той же энергии соответствуют собственные функции, принадлежащие разным неприводимым представлениям группы симметрии гамильтониана. Этот тип вырождения может иметь место и в более крупных системах, например, в молекулах. Это вырождение нельзя предсказать только из стандартного рассмотрения гамильтоновой симметрии. Причиной такого вырождения является наличие в системе скрытой симметрии.

Математически это означает, что для систем со скрытой симметрией можно построить некоторые сохраняющиеся величины, так называемый «интегральный инвариант», которые следует учитывать при рассмотрении свойств симметрии в дополнение к симметрии гамильтониана. И в принципе можно решить уравнение Шрёдингера более хитрым образом с включением этих "интегральных инвариантов" и получить решение, для которого эти "случайные вырождения" будут строго учтены.

В случае атома водорода причиной является инвариантность системы не только к трехмерной группе вращения 0(3), но и к четырехмерной группе вращения 0(4) - система имеет неожиданные на первый взгляд скрытые симметрия.

Суперсимметрия

Ну, для фиксированного$l$, вырождение$m$из-за симметрии SO (3) мы просто видим полное представление этой группы.

Большой вопрос, почему все радиальные гамильтонианы$H_l$для разных угловых моментов имеют одинаковый спектр, за исключением дискретного числа собственных значений.

Обратите внимание, что, в частности, башенный спектр для$l$и башня для$l+1$отличаются только одним собственным значением, наименьшим энергетическим. Это типичная установка, которую можно прочитать в «Суперсимметричной квантовой механике» Виттена: пара гамильтонианов, различающихся только вакуумным собственным состоянием. Таким образом, вы должны быть в состоянии построить генератор суперсимметрии Q так, чтобы$H_1=QQ^+$- радиальный гамильтониан для углового момента$l$а также$H_2=Q^+Q$- радиальный гамильтониан для углового момента$l+1$.

SUSY QM проще, чем QFT QM; он не созерцает Спина; состояние и суперпартнер — всего лишь два уровня в гамильтонианах КМ. Просто математически он немного более продвинут, чем метод факторизации; тем не менее, он допускает некоторые топологические аргументы в отношении нарушения сузи, которые обобщаются на версию QFT, это была идея Виттена при ее определении.

Только сейчас я не уверен, что это связь для каждого потенциального$l,m$вырождение существует или только для случая Кулона-водорода; для начала, это означает, что потенциал$V(r)$должен исходить из суперпотенциала, поэтому, конечно, это не так уж и просто сделать, чтобы не классифицировать все семейства радиальных потенциалов, которые позволяют проделать этот трюк. Но этой идее уже двадцать лет, так что, конечно же, она уже реализована.

Хорошо, даже есть запись в википедии . Согласно ему, сверхпотенциал

$$W = \frac{\sqrt{2m}}{h} \frac{\lambda}{2(l+1)} - \frac{h(l+1)}{r\sqrt{2m}}$$

Так что потенциалы

$$V_-=W^2-W'= -\lambda \frac{1}{r} + \frac{h^2 l (l+1)} {2m} \frac{1}{r^2}- \frac{\lambda^2 m}{2 h^2 (l+1)^2}$$ а также $$V_+=W^2+W'=-\lambda \frac{1}{r} + \frac{h^2 (l+1) (l+2)} {2m} \frac{1}{r^2} + \frac{\lambda^2 m}{2 h^2 (l+1)^2}$$ имеют тот же спектр, за исключением наименьшего собственного значения энергии первого, которое равно нулю и не может появиться во втором (хороший топологический результат).

Преимущество этого объяснения в том, что его можно распространить на потенциалы без полной симметрии SO(4) и на более экзотические случаи, когда спаривание не удается для других собственных значений.

PS: Можно заметить, что суперпотенциал для кулоновской задачи просто постоянен вдали от$W(r)=1/r$. Интересно, что этот суперпотенциал можно откалибровать для пары со свободной частицей:$V_+(r)=W^2+W'=0$; сверхпотенциалы, обладающие этим свойством, порождают так называемые «прозрачные потенциалы» с особыми свойствами в фазовом сдвиге. Их можно рассматривать как обобщение радиального уравнения на симметричные пространства с$1/r$является евклидовым случаем.

связь с групповыми представлениями so(4) (и вектором Рунге-Ленца?)

Согласно последней странице этой лекции , роль вектора Рунге-Ленца как наддува аналитически сложна. Но по крайней мере мы получим некоторую помощь от теории групп, если вспомним, что so(4) ~ su(2) x su(2) и что so(3) ~ su(2). Так что для наших целей мы действительно могли бы написать

$$so(4) \approx su(2) \oplus so(3)$$ Вращательная часть, so(3), дает нам $m$вырождение внутри представления группы вращений; это должно существовать для каждого центрального потенциала. $su(2)$часть - это та, чей лестничный оператор позволяет интерпретировать как заряд суперсимметрии, где вырождение не является полным из-за разницы в собственном состоянии с наименьшей энергией; обычно он исчезает, потому что $Q |\Omega>$не нормализуется. (Я немного очарован тем, что оператор susy-лестницы связан с SU(2), потому что в susy QM это не нужно или, по крайней мере, не явно)

Генератор суперсимметрии Q (альт.$Q^+$) при применении к собственной функции гамильтониана дает соответствующую собственную функцию партнера. Это та же самая роль, которую генератор лестницы использовал для создания состояний внутри представления группы симметрии, но с этой точки зрения она исходит из супружеского спаривания: если

$$H_2 \psi = Q^+Q \psi = E\psi$$ тогда $$H_1 (Q\psi) = (Q Q^+) (Q \psi) = Q H_2 \psi = E (Q\psi)$$

Обратите внимание, что сопряжение не выполняется, если$Q\psi$не существует; это относится к вакуумному потенциалу, но я помню, что Дж. Касаорран провел некоторое исследование для других собственных состояний за пределами вакуума (это сложно из-за результатов Виттена).