Насколько велик возбужденный атом водорода?

Question

Насколько велик возбужденный атом водорода?

Чарльз

Предположим, Вселенная пуста, за исключением одного атома водорода (1 протон, 1 электрон). Электрон может находиться в основном состоянии или может быть возбуждено определенное количество уровней. Допустим, на уровне $n$ .

Выберите какую-нибудь разумную меру размера, например, среднее расстояние от электрона до протона или радиус сферы, окружающей протон, которая с достаточно высокой вероятностью (например, $1 - 10^{-20}$ ), содержат электрон. Если какое-то другое определение размера проще вычислить, я был бы рад использовать его вместо этого.

Как этот размер растет с $n$ ?

Меня вдохновил этот вопрос о связке Бекештейна , в частности, предложение Джерри Ширмера хранить информацию в одном атоме. Я видел эту идею раньше, но никогда не анализировал ее должным образом. В частности, это ограничение, по-видимому, накладывает (слабые) ограничения на то, насколько близко электрон может находиться к протону в сильно возбужденном состоянии, хотя, возможно, высокая вероятность ускользания электрона нарушает ограничение.

Асаф

Высоковозбужденные атомы называются ридберговскими атомами. Они являются актуальной темой исследований, но одной из основных проблем достижения произвольно высоких значений

n

$n$ является тот факт, что поляризуемость масштабируется как

n^{7}

$n^7$ таким образом, малейшее изменение электрического поля произвело бы на атом очень большую силу.

Ответы (4)

Насколько велик возбужденный атом водорода?

Высоковозбужденные атомы называются ридберговскими атомами. Они являются актуальной темой исследований, но одной из основных проблем достижения произвольно высоких значений $n$ является тот факт, что поляризуемость масштабируется как $n^7$ таким образом, малейшее изменение электрического поля произвело бы на атом очень большую силу.

По симметрии · Answer 1

Из теоремы Вириала мы можем сказать, что полная энергия атома пропорциональна потенциальной энергии атома. Потенциальная энергия определяется кулоновским потенциалом, поэтому она будет примерно пропорциональна $\frac{1}{\langle r \rangle}$ где $\langle r \rangle$ - средний радиус орбитали электрона. Для атома водорода энергия $E\propto \frac{1}{n^2}$ , поэтому мы ожидаем

\begin{aligned} \frac{1}{⟨ р ⟩} & \propto \frac{1}{н^{2}} \\ ⟨ р ⟩ & \propto н^{2} \end{aligned}

$\begin{align}\frac{1}{\langle r \rangle} & \propto \frac{1}{n^2}\\ \langle r \rangle &\propto n^2\end{align}$

К сожалению, это не очень поможет вам хранить бесконечное количество информации в одном атоме. Для того, чтобы получить оценку $\langle r \rangle$ вам нужно сделать много измерений положения электрона (особенно если он находится в очень разбросанном распределении, таком как для высокого $n$ состоянии) каждое из этих измерений приведет к коллапсу волновой функции, и вам придется снова и снова приводить атом в исходное состояние, прежде чем проводить следующее измерение... но это именно то, что вы пытались установить, измеряя электрон! Чтобы определить состояние вашего атома, вам нужен набор величин, которые можно измерить одновременно и однозначно определить, в каком состоянии был ваш атом в первый раз, что для атома водорода по существу означает, что вам нужны энергия и угловой момент. Теперь угловой момент не должен доставлять вам особых хлопот; он хорошо квантуется на целые кратные $\hbar$ . Энергия, однако, создаст вам проблему. Как $E \propto -n^{-2}$ , для больших $n$ , разделение энергетических уровней происходит как

\begin{aligned} \frac{1}{н^{2}} - \frac{1}{(н + 1)^{2}} & "=" \frac{1}{н^{2}} [1 - (1 + \frac{1}{н})^{- 2}] \\ \approx \frac{2}{н^{3}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} &= \frac{1}{n^2}\left[ 1 - (1+ \frac{1}{n})^{-2}\right]\\ &\approx \frac{2}{n^3}\end{align}$ Это очень быстро станет очень маленьким, и то, насколько точно вы сможете измерить это разделение, ограничит объем информации, который вы можете хранить на практике.

Другими словами, для достаточно больших $n$ , было бы трудно измерить $n$ точно.

ДэйвДоктор философии · Answer 2

$r=n^2a_0$ для модели Бора.

Точно так же в модели Шредингера наиболее вероятный радиус равен $r=n^2a_0$ , когда $n=l+1$

Владимир Калитвянский · Answer 3

Да, средний радиус растет по мере $n^2$ асимптотически, но иметь $1-10^{-20}$ конечно, вы должны добавить еще немного ;-). Сильно возбужденные атомы называются ридберговскими атомами, и с ними имеют дело в эксперименте.

Спасибо! Означает ли «еще немного» умножение на (большую) константу, или оно будет увеличиваться быстрее, чем $n$ увеличивается?
Чтобы ответить на ваш вопрос, я должен провести соответствующее исследование ;-)

Селена Рутли · Answer 4

Вот еще один прямой метод, который следует (и соглашается) с методом теоремы Вириала, приведенным в ответе By Symmetry .

Из решения уравнения Шредингера (см. Заголовок «Математическое резюме собственных состояний атома водорода» на странице Википедии «Атом водорода» ):

ψ_{н, ℓ, м} (р, ϑ, ф) "=" \sqrt{{(\frac{2}{н а_{0}})}^{3} \frac{(н - ℓ - 1)!}{2 н (н + ℓ)!}} е^{- р / 2} р^{ℓ} л_{н - ℓ - 1}^{2 ℓ + 1} (р) Д_{ℓ}^{м} (ϑ, ф)

$\psi_{n,\,\ell,\,m}(r,\vartheta,\varphi) = \sqrt {{\left ( \frac{2}{n a_0} \right )}^3\frac{(n-\ell-1)!}{2n(n+\ell)!} } e^{- \rho / 2} \rho^{\ell} L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(\rho) Y_{\ell}^{m}(\vartheta, \varphi )$

где $n$ - главное квантовое число, $\ell$ и $m$ квантовые числа углового момента, $\rho = 2\,r/(n\,a_0$ и $a_0$ — боровский радиус. Таким образом:

\bar{р} "=" \frac{\int_{р "=" 0}^{\infty} | ψ (р) |^{2} р^{3} д р}{\int_{р "=" 0}^{\infty} | ψ (р) |^{2} р^{2} д р} \approx \frac{\int_{р "=" 0}^{\infty} е^{- \frac{2 р}{а_{0} н}} {(\frac{р}{а_{0} н})}^{2 н} р^{3} д р}{\int_{р "=" 0}^{\infty} е^{- \frac{2 р}{а_{0} н}} {(\frac{р}{а_{0} н})}^{2 н} р^{2} д р} "=" н (н + \frac{3}{2}) а \sim н^{2}

$\bar{r}=\frac{\int_{r=0}^\infty\,|\psi(r)|^2\,r^3\,{\rm d} r}{\int_{r=0}^\infty\,|\psi(r)|^2\,r^2\,{\rm d} r}\approx \frac{\int_{r=0}^\infty\,e^{-\frac{2\, r}{a_0\, n}} \left(\frac{r}{a_0\,n}\right)^{2\, n}\,r^3\,{\rm d} r}{\int_{r=0}^\infty\,e^{-\frac{2\, r}{a_0\, n}} \left(\frac{r}{a_0\,n}\right)^{2\, n}\,r^2\,{\rm d} r}= n\,(n+\frac{3}{2})\,a \sim n^2$

и решение уравнения Дирака даст очень похожий результат.

Все дают $a_0 n^2$ , но вопрос в том, насколько далеко нужно интегрировать, чтобы получить вероятность $1-10^{-20}$ .
@VladimirKalitvianski Мне нужно еще немного времени, чтобы возиться с асимптотическими рядами для этого, но я был бы почти уверен $r_\epsilon$ будет пропорционально $n^2$ для достаточно малых $\epsilon$ .

Насколько велик возбужденный атом водорода?

Чарльз

Асаф

Ответы (4)

По симметрии

Чарльз

ДэйвДоктор философии

Владимир Калитвянский

Чарльз

Владимир Калитвянский

Чарльз

Селена Рутли

Владимир Калитвянский

Селена Рутли

Ожидаемое значение 1/r31/r31/r^3 в состоянии 2p2p2p кулоновского потенциала

Размер позитрония

Каково ожидаемое расстояние электрона от ядра в атоме водорода?

Собственные функции уравнения Шредингера для 1s1s1s водорода

Какова будет форма однократно возбужденного атома водорода?

Атом водорода с точки зрения старой квантовой теории

Почему модель Бора дает правильные уровни энергии для водорода, даже если он предполагает круговую орбиту?

Как модель Бора связана с моделями электронных облаков через принцип соответствия?

Физика атомных орбиталей против химии

Формула Ридберга для водорода