Собственное время полета Метрика Шварцшильда конечна

Я тоже не совсем понимаю, как это "легко увидеть" из того.
Однако вы можете решить интеграл для собственного времени, сначала заметив, что для$C^2=\text{const.}$у нас (с$r_s = 2GM$)

что следует из включения$(4.2)$в$(4.1)$и рассматривая падающую частицу, которая покоится в$r = r_0$, значение$\dot{r}\vert_{r=r_0} = 0$.
Это вы можете использовать, чтобы написать свое первое уравнение как

Отсюда интеграл по собственному времени будет равен

которые вы можете решить с помощью Mathematica или также вводя параметризацию

с$\eta \in [0,\pi]$.

результат, который я получаю, абсурден, давая комплексу правильное время.

В вашем результате есть I, что я предполагаю, это обозначение Mathematica для$i=\sqrt{-1}$, но это не означает, что результат сложный. Для некоторых методов интеграции характерно получение результатов, которые выглядят сложными, но на самом деле оказываются реальными, когда вы их оцениваете.

Вы излишне усложняете свои результаты, принимая$G$и$M$как параметры. При выполнении такого рода интеграла нужно преобразовать как можно больше переменных в безразмерные величины, что обычно приводит к устранению ненужных констант, подобных этим. Здесь вы хотите перейти к переменной$x=r/2GM$. Не вводите его в систему компьютерной алгебры (CAS), не выполнив эту подготовку. CAS глупы и производят сложный вывод, поэтому дайте ему шанс побороться, выполнив ту же настройку, которую вы обычно делаете, работая без CAS.

Я использую CAS maxima с открытым исходным кодом, а не mathematica. У него нет проблем с получением результата без явного$i$в нем.

$ maxima -q --batch-string="assume(h>0 and (c^2-1)<0 and c>0); integrate(-(c^2-(1-1/x))^(-1/2),x,1+h,1);"

(%i1) assume(h > 0 and c^2-1 < 0 and c > 0)
                                     2
(%o1)                       [h > 0, c  < 1, c > 0]
(%i2) integrate(-(c^2-(1-1/r))^((-1)/2),r,1+h,1)
                                   2                     2           2
                 2       sqrt(1 - c ) sqrt(h + 1) sqrt((c  - 1) h + c )
(%o2) (sqrt(1 - c ) atan(----------------------------------------------)
                                        2           2
                                      (c  - 1) h + c  - 1
     2                         2           2     4      2
 + (c  - 1) sqrt(h + 1) sqrt((c  - 1) h + c ))/(c  - 2 c  + 1)
                                 2
             2       c sqrt(1 - c )     3
   sqrt(1 - c ) atan(--------------) + c  - c
                          2
                         c  - 1
 - ------------------------------------------
                  4      2
                 c  - 2 c  + 1

Возможно, вы захотите попробовать настроить его таким же образом в mathematica. Безусловно, после замены переменных интерпретировать будет проще и легче.

На самом деле нет никакой гарантии, что этот результат окажется реальным только потому, что нет$i$в нем. В нем действительно есть один квадратный корень, который выглядит так, как будто он может быть мнимым. То, как мы знаем, что оно должно быть реальным, состоит в том, что это определенный интеграл от действительного подынтегрального выражения. Если вы хотите проверить, действительно ли это правда, попробуйте просто использовать случайные числа для$C$и$h$. Если результат окажется реальным, то это не совпадение. Если получается сложно, то может иметь место одно из следующего: (1) вы закодировали его неправильно, (2) есть ошибка в CAS или (3) есть проблема с ответвлениями для арктангенса.