Сохранение энергии и квантовые измерения

Для высокой степени точности вам придется исследовать частицу с фотоном высокой энергии (короткой длины волны), так что есть много энергии, которая может пойти на колебательное возбуждение. После такого сильного удара частица будет размазана по широкому диапазону состояний

Таким образом, дополнительная энергия возникает от взаимодействия с пробной частицей, и она не обязательно должна быть точно равна энергии определенного колебательного состояния.

Дорогой Найджел, если вы измерите положение частицы и обнаружите ее в небольшой области, вы также измените ее состояние.

Как вы правильно написали, локализованный волновой пакет (я не говорю о векторе состояния дельта-функции, средняя кинетическая энергия которого была бы бесконечной) можно переписать как линейную суперпозицию собственных состояний энергии.

Это означает, что до того, как вы измерили энергию, существовала ненулевая вероятность того, что энергия$(21/2)\hbar\omega$, и этот конкретный результат в конечном итоге был реализован. Здесь нет нарушения закона сохранения энергии.

Что вас может раздражать, так это то, что конечная энергия электрона обычно не равна ожидаемому значению энергии в состоянии до измерения. Это, конечно, правда. Но нет причин, по которым это должно быть. Ожидаемое значение не является какой-либо «объективной стоимостью» энергии. Это просто статистическое среднее многих возможностей, и только некоторые из них будут реализованы, как это и продиктовано вероятностями, предсказанными квантовой механикой.

Если хотите, процесс измерения нарушает "сохранение математического ожидания энергии".

Само собой разумеется, что это «нарушение» не может быть использовано для получения какого-либо резкого противоречия с законом сохранения «актуальной» энергии. Вы можете интерпретировать измеренную энергию «классическим способом» только после декогеренции, то есть после взаимодействия измерительного прибора со степенями свободы окружающей среды (которые необходимы для декогеренции). Если вы подготовите свой гармонический осциллятор плюс прибор в состоянии, полная энергия которого достаточно точно определена, чтобы обнаружить «нарушение закона сохранения для ожидаемого значения», окружающие степени свободы неизбежно испортят эту точность.

Размышляя над вашим вопросом, я пришел к следующему выводу:

Предположим, что существует сохраняющаяся величина$Y$и изолированная система$S$. Предположим также, что изоляция временно снимается для измерения наблюдаемого$\widehat{X}$из$S$. Это измерение выполняется измерительным прибором$A$. Для простоты давайте объединим остальную вселенную вне системы, включая аппаратуру и окружающую среду, в одну кучу.$A$. Далее предположим, что у нас есть структура тензорного произведения между$S$и$A$для гильбертова пространства. Позволять$\widehat{Y}_S$и$\widehat{Y}_A$быть ограничением$\widehat{Y}$к$S$и$A$соответственно. Тогда сумма$\widehat{Y}_S + \widehat{Y}_A$должен быть сохранен.

Теперь предположим$\widehat{Y}_S$и$\widehat{X}$не ездить на работу. Давайте посмотрим, что произойдет, если мы далее сделаем допущение, очень распространенное в теории измерений, что для систем, начинающихся с собственного состояния$X$, идеальное измерение оставит его в собственном состоянии$X$с тем же собственным значением. Гильбертово пространство$A$разлагается на собственные пространства оператора указателя$\widehat{P}$такое, что после измерения собственного состояния$X$,$A$оказывается в собственном состоянии$\widehat{P}$с собственным значением, равным собственному значению$X$.

Как$\widehat{Y}_S$и$\widehat{X}$не коммутируют, существует собственное значение$X$так что все его ненулевые собственные состояния также не являются$\widehat{Y}_S$собственные состояния. При всех этих предположениях начальное состояние$\sum_n c_n \left| x_n \right\rangle$превратится в

Но конечно,$\widehat{Y}$создает симметрию и$\widehat{X}$не является инвариантным относительно этой симметрии. Итак, для измерения$X$, начальное состояние аппарата также не может быть инвариантным относительно этой симметрии. Так что не стоит ожидать$A$начать в собственном состоянии$\widehat{Y}_A$. Ожидается, что сам процесс измерения изменится$\widehat{Y}_S$, но у нас есть компенсирующее изменение в$\widehat{Y}_A$.

Что интересно в этом вопросе, так это то, что ответы могут отображать авторскую интерпретацию КМ. Давайте сначала рассмотрим порядок событий здесь:

1. Частица готовится в основном состоянии$\psi_0$(собственное состояние энергии)
2. Положение частицы измеряется с помощью наблюдаемого X (измерение-1).
3. Частица теперь находится в собственном состоянии позиции.
4. Теперь частица измеряется Энергией (измерение-2).
5. Частица находится в состоянии$\psi_{21/2}$

В этом примере частице передана энергия.

Во-первых, это похоже на возбуждение электрона атома. Если это произошло в результате столкновения или поглощения фотона во время любого измерения, то частица будет поглощать только целое число квантов энергии.

Однако, поскольку гамильтониан в этом случае$H=1/2(p^2 + x^2)$, затем$[X,H]=\hbar p\neq0$. Таким образом, квантовый формалист может просто принять копенгагенскую точку зрения, согласно которой, поскольку наблюдаемые не коммутируют, нельзя дать никаких гарантий того, что их собственные значения останутся неизменными после такой истории измерений. И никаких дальнейших объяснений «почему» не требуется, кроме «квантовой флуктуации» (или «квантовой случайности», если хотите). Таким образом, не существует «микротеории», объясняющей, откуда взялась энергия (в данном случае — возможно, дополнительный импульс в другом случае).

Дальнейшие соображения: (1) если кто-то придерживается философии «скрытой переменной», тогда этот эксперимент необходимо объяснить с помощью этого средства. (2) Этот эксперимент имеет сходство с квантово-вакуумным объяснением спонтанного излучения. Если бы такая модель могла быть применима здесь, мы могли бы сказать, что частица получила случайный выигрыш от квантового вакуума, возможно, опосредованный одним из измерений.

Также предполагается, что любая запутанность между измерительным инструментом и частицей прекращается вскоре после измерения в результате декогеренции между классическим объектом и квантовым.

Волновая функция QM описывает совокупность измерений, а не один результат измерения. Соответствующий потенциал не описывает возмущение, вызванное измерением. Если вы измеряете только энергию системы, она будет$E_0$, конечно, потому что вы измеряете собственное состояние соответствующего оператора.

Но оператор координат не коммутирует с гамильтонианом, основное состояние не является его собственным состоянием, поэтому вы получите дисперсию в измерениях координат. При измерении координат можно ввести возмущение, которое изменяет начальное состояние. Теперь у вас может быть суперпозиция собственных состояний гамильтониана. Неудивительно, что вы можете найти энергии, отличные от основного состояния.

Если я правильно понимаю, ключевой вопрос в самом верхнем посте заключается в этом предложении «измерение-1, которое исследовало положение частицы, не могло передать ей точное количество энергии».

Теперь я думаю, что если вы действительно измерите положение системы (или компонента системы), а затем снова измерите энергию этой системы, вы действительно получите дискретный спектр энергий (в случае простой гармонический осциллятор)?

Я думаю, что нет, потому что измерение положения может нарушить общий импульс системы, тем самым изменив поступательную энергию, которая имеет непрерывный спектр.

Таким образом, в случае гармонического осциллятора после измерения его положения волновая функция будет не суперпозицией дискретных собственных функций, а скорее интегралом континуумов собственных функций, которые включают случаи с ненулевыми поступательными энергиями.

Но я считаю, что дело здесь не в «измерении положения». Я имею в виду, может быть, измерение положения — это просто плохой пример. Можно разработать другие типы измерений, чтобы свернуть собственное энергетическое состояние в суперпозиционное состояние (дискретных энергетических уровней). Если измерение спланировано достаточно тщательно, я полагаю, что процесс, посредством которого дискретное количество энергии передается в измеряемую систему или из нее, станет очень ясным.

Я прочитал исходный вопрос и все шесть ответов выше. Я не думаю, что эти ответы прямо отвечают на вопрос. Происходит передача энергии от прибора к частице, что составляет неконтролируемое возмущение количества движения, на что также указывает принцип неопределенности Гейзенберга в контексте измерения положения электрона с помощью фокусирующегося на нем светового луча. Первоначальный вопрос заключается в том, как происходит преобразование энергии во время измерения? Или как энергия течет от аппарата к частице? Или есть какой-то динамический механизм? Насколько мне известно, в рамках современного формализма квантовой механики ответа НЕТ.