Сохранение энергии при отражении света от идеального зеркала

Вы правы, сомневаясь в предположении, что импульс, передаваемый зеркалу, в два раза превышает импульс входящего фотона, но это не имеет ничего общего с тем, что зеркало является идеальным отражателем. Это приближение. Вы правы, что если импульс отраженного фотона равен импульсу входящего фотона, то масса зеркала должна быть бесконечной (иначе импульс отраженного фотона должен быть меньше). Это еще один способ сказать, что зеркало не может двигаться. Лучший способ объяснить это просто сделать простой кинематический расчет.

Давайте проигнорируем пружину и сделаем простое упругое столкновение зеркала и фотона. Это нерелятивистский расчет (не что иное, как комптоновское рассеяние), поэтому давайте воспользуемся нерелятивистским законом сохранения энергии и импульса.

Примем длину волны падающего фотона равной$\lambda$, длина волны отраженного фотона будет$-\lambda^\prime$(отрицательно, так как отражается в направлении), а масса зеркала как$M$. Предположим, что после отражения фотона зеркалу сообщается скорость$v$. По закону сохранения импульса

$$\frac{h}{\lambda} + \frac{h}{\lambda^\prime} = M v \:,$$

и по энергосбережению,

$$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda^\prime} = \frac{1}{2}Mv^2\:.$$

Вы можете убедиться, что после устранения$h/\lambda^\prime$и некоторые перестановки у вас будет уравнение, которое является квадратным в$v$, формальные решения которого будут

$$v = -c \pm c\sqrt{1+\delta} \:,\:\:\:\:\:\:\textrm{where}\:\:\:\delta = \frac{4 h}{M c \lambda} \: .$$

Я пропускаю много тривиальной алгебры (и квадратичную формулу); вы должны быть в состоянии получить результат выше без особых проблем. Мы можем сразу отбросить нефизическое тахионное решение, и, поскольку$\delta \ll 1$, мы можем расширить в$\delta$получить

$$\frac{v}{c} = \frac{1}{2}\delta + O(\delta^2) \:.$$

Таким образом, мы получаем

$$Mv \approx \frac{2h}{\lambda} = 2 p \:,$$

где мы проигнорировали члены более высокого порядка в$h/\lambda$(имеется в виду более высокий порядок$\delta$условия). Таким образом, импульс зеркала примерно вдвое превышает импульс входящего фотона. Другими словами, вы можете просто аппроксимировать кинематику системы, как если бы отраженный фотон имел тот же самый импульс$p$как входящий фотон, и поэтому зеркалу придается импульс$2p$потому что фотон отражается (импульс фотона должен быть$-2p$чтобы изменить направление, поэтому импульс зеркала должен быть$+2p$для сохранения импульса).

В действительности фотон увидит некоторое смещение длины волны, но оно будет небольшим. Член ведущего порядка в импульсе зеркала будет исходить из изменения импульса фотона из-за отражения. Интуитивно это происходит потому, что энергия массы покоя зеркала намного больше, чем энергия фотона. Ради интуиции вы можете предположить, что здесь фотоны эквивалентны небольшим частицам массы$m$, где$m$дан кем-то$m c^2 = hc/\lambda \ll M c^2$. Подумайте о броске шарика на землю, где масса Земли намного больше массы шарика: импульс каждого отдельного фотона не сильно изменится по величине, поскольку масса зеркала намного больше, изменится только его направление. Эта интуиция подтверждается приведенным выше анализом: мы ожидаем, что наши выводы не оправдаются, когда$\delta \sim 1$, или другими словами, когда$h/\lambda \sim Mc$(без учета тривиальных числовых факторов).

Кроме того, мы также можем приблизительно определить, каким будет сдвиг длины волны. Значение$v$до поправок первого порядка будет

$$\frac{v}{c} = \frac{1}{2}\delta - \frac{1}{8}\delta^2 + O(\delta^3) \: .$$

Таким образом,

$$Mv \approx 2 \frac{h}{\lambda} - \frac{2}{Mc} \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 \: .$$

Подставив это выражение обратно в уравнение сохранения импульса сверху, мы будем иметь

$$\frac{h}{\lambda^\prime} - \frac{h}{\lambda} \approx - \frac{2}{Mc} \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 \: .$$

Так,

$$\frac{\Delta p}{p} \approx - \frac{2p}{Mc} \:,$$

где поправки более высокого порядка в$p$будет подавляться факторами$1/Mc$. С точки зрения$\lambda$, этот сдвиг будет, с точностью до поправок первого порядка,

$$\frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx \frac{2h}{Mc\lambda} \:.$$

Итак, если мы возьмем видимый свет (скажем,$\lambda = 5 \times 10^{-7} \,\textrm{m}$), и$M = 0.1 \,\textrm{kg}$, этот пропорциональный сдвиг будет примерно

$$\frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx 8 \times 10^{-35} \:,$$

что является абсолютно хрестоматийным определением незначительного. Зеркало улавливает обнаруживаемое движение в огромном количестве падающих на него фотонов.

Однако если я предполагаю, что каждый фотон отдает часть своей энергии, тем самым изменяя свою длину волны, то приходящий импульс не будет равен исходящему импульсу. Но это привело бы к противоречию, поскольку мы предполагали, что зеркало идеально отражает.

Противоречия нет. Вы должны интерпретировать «совершенно отражающее зеркало» как означающее, что каждый фотон, падающий на зеркало, отражается. Действительно, для этого требуется, чтобы отраженные фотоны имели большую длину волны, чем падающие фотоны. Вам не дана длина волны отражения, но введение закона сохранения энергии-импульса (два соотношения) позволяет найти как длину волны отражения, так и значение$N$(два неизвестных).

Если вы спросите: «Что, если бы мы представили идеально отражающее зеркало» в смысле зеркала, которое всегда будет отражать каждый падающий фотон, не изменяя его длину волны, то вы фактически спросите: «Что, если бы энергия или импульс не сохранялись?» Что ж, тогда вам придется предложить какие-то новые законы физики, которые сделают это возможным и, надеюсь, ответят на ваш вопрос.

В постановке задачи «идеальное зеркало» должно означать, что свет не поглощается и что зеркало идеально плоское. Однако существует эффект отдачи, который можно измерить, если зеркало достаточно легкое. Как вы утверждаете, это требуется для сохранения импульса. Следовательно, каждый фотон будет отражаться с немного меньшей энергией, следовательно, с немного меньшей частотой и большей длиной волны. В этом смысле зеркало несовершенно по замыслу. Ваше подозрение вполне обосновано.

Было бы яснее, если бы прямо было указано, что имеется в виду под «совершенным».

Идеальных зеркал не существует, но если вы настаиваете, давайте обсудим этот случай.

Идеальное зеркало — это зеркало, которое идеально отражает свет (и электромагнитное излучение в целом), а не пропускает и не поглощает его.[1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Идеальное_зеркало

Это означает, что, как вы видите в комментариях, каждый отдельный фотон, падающий на зеркало, также покидает зеркало после отражения. Ни один из падающих фотонов не может быть поглощен (без переизлучения) или преломлен.

Отражение — это упругое рассеяние, то есть единственный способ построить зеркальное отражение, при этом сохраняются относительные энергетические уровни и фаза фотонов.

Теперь относительные энергетические уровни фотонов не меняются, но это не означает, что энергия и импульс остаются прежними. Энергия и импульс фотонов меняются. Да, фотоны оказывают давление на зеркало.

Да. На самом деле фотоны оказывают давление на любые открытые им поверхности. Например, фотоны, испускаемые Солнцем, оказывают на Землю давление в 9,08 мкН/м2.

О фотонах и зеркалах

Это классическая теория, но радиационное давление — реальное явление. Это не означает, что зеркало не может быть идеальным в вашем случае. Совершенный означает, что все фотоны упруго рассеиваются и ни один из них не поглощается (без переизлучения) и не преломляется.

Рассматривайте это как задачу об импульсе (упругом столкновении). Вам не нужна сила или мощность, вам просто нужно сохранить импульс при столкновении фотонов.

Вы можете разумно предположить равный и противоположный импульс для фотонов до и после столкновения (без изменения длины волны, поскольку зеркало неподвижно при столкновении — вы можете включить доплеровский сдвиг для отраженных фотонов, поскольку к тому времени зеркало движется, но это не так). усложнит задачу, и она будет небольшой).

Так что это даст вам импульс зеркала после столкновения. Вам нужно получить постоянную Гука для пружины из$\Omega$а дальше надо просто решить уравнение движения при сжатии пружины.

Масса зеркала дана для того, чтобы вы подумали, что это проблема системы отсчета. Это не. Это, или требуется вывести жесткость пружины$k$от частоты генератора$\Omega$. Предположим, что это сделано.

Теперь ситуация находится в равновесии с зеркалом, смещенным на расстояние$x$, для чего требуется сила:

$$F = kx$$

Откуда приходит эта сила? Отраженный свет:

$$F = \frac{\mathrm dp}{\mathrm dt}$$

где$p$импульс. Для света:

$$pc = E$$

где$E$это энергия света. Поскольку власть,$P$, это энергия за время:

$$P = \frac{\mathrm dE}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d(pc)}{\mathrm dt} = c\,\frac{\mathrm dp}{\mathrm dt}=cF = kx$$

Затем эта энергия может быть преобразована в поток триллионов фотонов.

Если все фотоны падают одновременно, то возникает импульс:

$$P_{\gamma} = 2p_{\gamma} = P_M$$

В котором пружина корпуса будет сжата так, что (сохранение энергии):

$$\frac 1 2 k x^2 = \frac{P_M^2}{2M}$$

Я не совсем уверен, но это звучит как проблема с системой отсчета. В системе центра масс не должно быть передачи энергии для упругого удара. Но поскольку масса зеркала не указана, центр масс рамы может даже приблизительно не совпадать с лабораторной рамой, в которой зеркало изначально находится в покое.

Другими словами: термин «идеальное отражение» не следует интерпретировать как сохранение энергии света, поскольку это зависит от кадра. Это просто означает, что поглощение не происходит.

Рассчитаем изменение энергии зеркала массы$M$от фотона с энергией$\hbar \omega$

Фотон имеет импульс$p = \hbar \omega/c$, поэтому полное изменение импульса равно$\Delta p =-2\hbar \omega/c$

Зеркало, с другой стороны, набирает обороты$-\Delta p$по закону сохранения импульса. Это изменение импульса даст зеркалу некоторую энергию, но какую? Это просто кинетическая энергия зеркала.

$$KE = \frac{\Delta p^2}{2M} = \hbar \omega \frac{2\hbar \omega}{Mc^2}$$

Таким образом, для 10-граммового зеркала и фотона видимого света мы имеем относительное изменение энергии$\frac{2\hbar \omega}{Mc^2}$или 1 часть в$10^{33}$, что абсолютно ничтожно. Так что можно смело считать, что зеркало прекрасно отражает свет и практически не меняет его энергию.

Предположение об отсутствии сдвига длины волны не противоречит законам Ньютона. Явление рэлеевского рассеяния показывает, что действительно существует отражение (перегиб) фотонов без изменения длины волны или частоты:

«Для световых частот значительно ниже резонансной частоты рассеивающей частицы (режим нормальной дисперсии) степень рассеяния обратно пропорциональна четвертой степени длины волны».

Ни слова об изменении длины волны или частоты. Этого не происходит. Синий свет отражается как синий свет без какого-либо красного смещения, и отличается только угол отражения, который отмечает отражение как так называемое отражение Рэлея.

Это можно легко объяснить, на мой взгляд, исключительно обменом направлением между фотонами и частицами, из которых состоит зеркало (предполагая гипотетическое значение термина «идеальный», которое предлагает вопрос)

так как по закону Ньютона импульс представляет собой вектор, включающий в себя направление движения тел.

Требуется не больше предположений, чем фотоны, сталкивающиеся с частицами зеркала, которые сами находятся в состоянии движения.

Таким образом, на мой взгляд, допущение "идеального" отражения в зеркале без изменения длины волны не противоречит законам Ньютона, поскольку импульс - это вектор, включающий в себя направление.

То, что изменение угла происходит при рассеянии Роли, Википедия объясняет так:

"Рэлеевское рассеяние является результатом электрической поляризуемости частиц. Осциллирующее электрическое поле световой волны воздействует на заряды внутри частицы, заставляя их двигаться с той же частотой. Таким образом, частица становится небольшим излучающим диполем, излучение которого мы видеть как рассеянный свет. Частицы могут быть отдельными атомами или молекулами; это может произойти, когда свет проходит через прозрачные твердые тела и жидкости, но наиболее заметно в газах».

Следовательно, значение слова «совершенный» в приведенном тексте должно быть выведено из контекста. Из контекста проблемы можно сделать вывод, что поглощения фотонов просто не происходит, как утверждалось в других ответах.