Сохранение углового момента в уравнении Эйлера

Question

Сохранение углового момента в уравнении Эйлера

Физика
угловой момент
законы сохранения
динамика твердого тела
динамика вращения
вычислительная физика

пользователь97213

Рассмотрим следующие уравнения

\begin{aligned} я_{1} \frac{г {Ом}_{1}}{г т} + (я_{3} - я_{2}) {Ом}_{2} {Ом}_{3} & "=" К_{1}, \\ я_{2} \frac{г {Ом}_{2}}{г т} + (я_{1} - я_{3}) {Ом}_{3} {Ом}_{1} & "=" К_{2}, \\ я_{3} \frac{г {Ом}_{3}}{г т} + (я_{2} - я_{1}) {Ом}_{1} {Ом}_{2} & "=" К_{3} . \end{aligned}

$\begin{align} I_1 \frac{dΩ_1}{dt} + (I_3 - I_2)Ω_2 Ω_3 &= K_1, \\ I_2 \frac{dΩ_2}{dt} + (I_1 - I_3)Ω_3 Ω_1 &= K_2, \\ I_3 \frac{dΩ_3}{dt} + (I_2 - I_1)Ω_1 Ω_2 &= K_3. \end{align}$

Согласно этому уравнению, если внешний крутящий момент равен нулю, возникают следующие результаты.

\begin{aligned} я_{1} \frac{г {Ом}_{1}}{г т} + (я_{3} - я_{2}) {Ом}_{2} {Ом}_{3} & "=" 0, \\ я_{2} \frac{г {Ом}_{2}}{г т} + (я_{1} - я_{3}) {Ом}_{3} {Ом}_{1} & "=" 0, \\ я_{3} \frac{г {Ом}_{3}}{г т} + (я_{2} - я_{1}) {Ом}_{1} {Ом}_{2} & "=" 0. \end{aligned}

$\begin{align} I_1 \frac{dΩ_1}{dt} + (I_3 - I_2)Ω_2 Ω_3 &= 0, \\ I_2 \frac{dΩ_2}{dt} + (I_1 - I_3)Ω_3 Ω_1 &= 0, \\ I_3 \frac{dΩ_3}{dt} + (I_2 - I_1)Ω_1 Ω_2 &= 0. \end{align}$

Здесь $K_1,K_2,K_3$ крутящие моменты и $I_1,I_2,I_3$ являются моментами инерции.

Я использовал метод Рунге-Кутты 4-го порядка для предсказания угловой скорости и использовал уравнение Эйлера для расчета скорости изменения угловой скорости (для метода Рунге-Кутты). Но после наблюдения за графиком энергии после зацикливания этого метода в течение некоторого времени (скажем, 50000 секунд) энергия не сохранялась. Происходит уменьшение количества энергии. Я не уверен, что вызывает это снижение энергии. Разве момент импульса не сохраняется в соответствии с уравнением?

любопытный разум

Знаете ли вы, должен ли метод РК, который вы используете, сохранять энергию, если аппроксимированные уравнения делают это?

ZeroTheHero

Возможно ошибки округления. Это легко проверить, если вы реинтегрируете свои EOM, последовательно используя RK более высокого порядка. Если потери энергии в конце вашего интегрирования уменьшаются по мере увеличения точности вашей схемы, то это однозначно округление. Вы также можете отслеживать длину вектора углового момента.

\sqrt{I_{1}^{2} + I_{2}^{2} + I_{3}^{2}}

$\sqrt{I_1^2+I_2^2+I_3^2}$ как функцию времени, как еще одну меру точности вашей схемы.

Микушефски

Как однажды указал Мартин Юдинг в комментарии здесь , методы Рунге-Кутта не сохраняют ни энергию, ни угловой момент. Он правильно заявляет, что для этого требуются другие методы интегрирования, упоминая симплектические методы, такие как чехарда

Джон Алексиу

Кроме того, вы меняете каждый

I_{i}

$I_i$ в соответствии с матрицей вращения?

я "=" р я_{б о г у} р^{⊤}

$\mathrm{I} = \mathrm{R} \mathrm{I}_{body} \mathrm{R}^\top$ Приведенные выше уравнения действительны только вдоль главной оси вращения . Если вы интегрируетесь, вы должны учитывать и другие направления.

Аритро Патхак

@ja72 . это шокер. Эти уравнения

always

$\textit{always}$ действует на протяжении всего движения. Важно то, что

Ω_{i}

$\Omega_{i}$ связаны с обычными осями координат за счет использования производной по времени от координат, таких как углы Эйлера.

Джон Алексиу

@AritroPathak нет, это не потому, что они пропускают перекрестные термины MMOI (например,

I_{x y} = \int - x y d m,

$I_{xy}=\int -x y {\rm d}m,$ и

I_{y z} = \int - y z d m

$I_{yz} = \int -y z {\rm d}m$ . Прочтите первую часть en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_equations_(rigid_body_dynamics) . В трехмерных главных ортогональных координатах уравнения выглядят так, как показано в OP . В общем случае инерциальная система координат не совпадает с главными осями.

Аритро Патхак

Вы можете использовать любой произвольный набор осей, для которого появятся недиагональные члены тензора момента инерции. Хорошее исчерпывающее старое обсуждение дано в «Трактате о динамике системы твердых тел» Рауса. Повторяю еще раз, это уравнение

can

$\textit{can}$ быть интегрированным. Есть такие математики, как Найджел Хитчин, которые пытались решить эти уравнения.

Ответы (2)

Сохранение углового момента в уравнении Эйлера

Знаете ли вы, должен ли метод РК, который вы используете, сохранять энергию, если аппроксимированные уравнения делают это?
Возможно ошибки округления. Это легко проверить, если вы реинтегрируете свои EOM, последовательно используя RK более высокого порядка. Если потери энергии в конце вашего интегрирования уменьшаются по мере увеличения точности вашей схемы, то это однозначно округление. Вы также можете отслеживать длину вектора углового момента. $\sqrt{I_1^2+I_2^2+I_3^2}$ как функцию времени, как еще одну меру точности вашей схемы.
Как однажды указал Мартин Юдинг в комментарии здесь , методы Рунге-Кутта не сохраняют ни энергию, ни угловой момент. Он правильно заявляет, что для этого требуются другие методы интегрирования, упоминая симплектические методы, такие как чехарда
Кроме того, вы меняете каждый $I_i$ в соответствии с матрицей вращения? $я "=" р я_{б о г у} р^{⊤}$ $\mathrm{I} = \mathrm{R} \mathrm{I}_{body} \mathrm{R}^\top$ Приведенные выше уравнения действительны только вдоль главной оси вращения . Если вы интегрируетесь, вы должны учитывать и другие направления.
@ja72 . это шокер. Эти уравнения $\textit{always}$ действует на протяжении всего движения. Важно то, что $\Omega_{i}$ связаны с обычными осями координат за счет использования производной по времени от координат, таких как углы Эйлера.
@AritroPathak нет, это не потому, что они пропускают перекрестные термины MMOI (например, $I_{xy}=\int -x y {\rm d}m,$ и $I_{yz} = \int -y z {\rm d}m$ . Прочтите первую часть en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_equations_(rigid_body_dynamics) . В трехмерных главных ортогональных координатах уравнения выглядят так, как показано в OP . В общем случае инерциальная система координат не совпадает с главными осями.
Вы можете использовать любой произвольный набор осей, для которого появятся недиагональные члены тензора момента инерции. Хорошее исчерпывающее старое обсуждение дано в «Трактате о динамике системы твердых тел» Рауса. Повторяю еще раз, это уравнение $\textit{can}$ быть интегрированным. Есть такие математики, как Найджел Хитчин, которые пытались решить эти уравнения.

Джон Алексиу · Answer 1

Угловой момент сохраняется этим уравнением, потому что он получен из

\frac{г}{г т} л_{С} "=" \sum т

$\frac{\rm d}{{\rm d}t} \mathbf{L}_C = \sum \boldsymbol{\tau}$

_{Подробности см. в разделе « Вывод уравнений Эйлера для столба вращения твердого тела» . Производная углового момента равна нулю, когда крутящие моменты равны нулю, и, следовательно, $\mathbf{L}_C$ постоянно.}

Я думаю, что наиболее вероятным сценарием является то, что численный метод не будет сохранять ни полную энергию, ни угловой момент. Есть некоторые методы интегрирования (называемые симплектическими), которые сохраняют эти величины, и Рунге-Кутта не входит в их число.

PS. НАСА опубликовало аналитическое решение вышеупомянутой проблемы для некоторых особых случаев (см. этот отчет в формате pdf ), и эти аналитические решения действительно сохраняют угловой момент.

Схемы Leapfrog и Velocity-Verlet (также называемые Newmark) обычно используются для симплектических методов.

ZeroTheHero · Answer 2

Я действительно проверил. Конечно $50000$ секунд зависит от вашей временной шкалы и от ваших значений для $\vec \omega$ . Я выбрал $(\omega_1(0),\omega_2(0),\omega_3(0))=(2,0,1)$ и используется $I_2=2, I_3=1$ и переменная $I_1$ . Я получил кинетическую энергию

2 Т_{р о т} "=" \sum_{к} я_{к} ю_{к}^{2}

$2T_{rot}= \sum_k I_k\omega_k^2$ сохраняться до конца

t = 50 k

$t=50k$ используя самые разные методы. Однако я не вполне доверяю некоторым качественным особенностям численных решений.

Например, с $I_1=I_2=2$ , должна получиться простая прецессия вокруг третьей оси. Хотя мои схемы показывают, что $L_3=I_3\omega_3(t)$ действительно постоянно, два других значения углового момента не остаются точно на окружности, а скорее колеблются, как вы можете видеть из рисунка, с $\vec\omega(t)$ замышляли $t=250$ .

С другой стороны, существует критическое значение

я_{1 с} "=" \frac{я_{2}}{2} + \sqrt{\frac{я_{2}^{2}}{4} + я_{3} (я_{2} - я_{3}) {(\frac{ю_{3} (0)}{ю_{1} (0)})}^{2}} .

$I_{1c}=\frac{I_2}{2}+\sqrt{\frac{I_2^2}{4}+I_3(I_2-I_3)\left(\frac{\omega_3(0)}{\omega_{1}(0)}\right)^2}\, .$ который разделяет два типа движения. Для моих значений это получается

I_{1 c} = 2.11803

$I_{1c}=2.11803$ . Принимая значения

I_{1} = 2.08

$I_1=2.08$ и

2.12

$2.12$ по обе стороны от этого критического значения дает «хорошие» кривые

\vec{ω} (t)

$\vec\omega(t)$ вплоть до

t = 2500

$t=2500$ , как вы можете видеть ниже. Синяя кривая очень близка к сепаратрисе и была получена с использованием

I_{1} = 2.118

$I_1=2.118$ ; красная и черная кривые соответствуют

I_{1} = 2.08

$I_1=2.08$ и

2.12

$2.12$ соответственно.

Все они были получены с помощью Mathematica и принуждения Метода к RK разностного порядка. $4$ . Таким образом, я подозреваю, что это, вероятно, ваш интегратор, который глючит.

Сохранение углового момента в уравнении Эйлера

пользователь97213

любопытный разум

ZeroTheHero

Микушефски

Джон Алексиу

Аритро Патхак

Джон Алексиу

Аритро Патхак

Ответы (2)

Джон Алексиу

тпг2114

ZeroTheHero

Почему вертолеты не используют реактивные колеса для противодействия несущему винту?

Уравнение Эйлера и сохранение углового момента (твердое тело)

Сохранение углового момента при наличии момента внутреннего трения

Уточнение относительно главных осей при движении твердого тела

Куда уходит кинетическая энергия?

Сохранение углового момента и спина

Интуиция за крутящим моментом, инерцией вращения и угловым моментом

Земля продолжает вращаться по инерции?

Теорема о параллельных осях и теорема Кенига для углового момента

Упругое столкновение вращающихся тел