Средняя продолжительность жизни вообще что-нибудь значит?

Поздравляю с выводом экспоненциального закона для себя, можно многое узнать о науке, работающей таким образом. Теперь к вашему последнему вопросу:

Если бы у меня была группа атомов со «средним временем жизни», скажем, 5 секунд, по прошествии 5 секунд, каково «среднее время жизни» оставшихся атомов? Я не думаю, что могу произвольно выбрать какое-то контрольное время, чтобы начать отсчитывать оставшееся время атомов, означает ли это, что в любой момент времени их «среднее время жизни» или ожидаемое время жизни всегда является константой и никогда фактически не уменьшается по мере того, как время идет?

Да, действительно, средний срок службы постоянен. И экспоненциальное распределение, которое вы получили, является уникальным распределением времени жизни с этим свойством. Другой способ сказать это состоит в том, что распадающаяся частица не имеет памяти : она не кодирует свой «возраст»: внутри частицы нет ничего, что говорило бы: «Я жил долго, теперь пришло время умереть». Еще один подход к этому — как к дискретному, а не непрерывному распределению вероятностей — это геометрическое распределение числа бросков до того, как монета выпадет орлом, и наблюдение, что у монеты нет памяти , которое опровергает знаменитую ошибку игрока.

Чтобы понять эту уникальность, мы закодируем условие отсутствия памяти в основной закон вероятности

$$p(A\cap B) = p(A) \, p(B|A)$$

Предположим, через время$\delta$вы наблюдаете, что ваша частица не распалась (событие$A$). Если$f(t)$есть вероятностное распределение жизней, то вероятность того, что частица просуществовала по крайней мере столько времени, т . е . вероятность того, что она не распадется в интервале времени$[0,\,\delta]$является:

$$p(A) = 1-\int_0^\delta f(u)du$$

Априорная функция распределения вероятности того, что частица просуществует до времени$t+\delta$а затем затухать в интервале времени$dt$(мероприятие$B$) является

$$p(B\cap A) = f(t+\delta) dt$$ .

это события$B$а также$A$наблюдается вместе, что то же самое, что и простой старый$B$так как частица не может длиться до времени$t + \delta$не дожив до$\delta$первый! Следовательно, условная функция плотности вероятности имеет вид

$$p(B|A) = \frac{f(t+\delta)\,dt}{1-\int_0^\delta f(u)du}$$

Но это должно быть то же самое, что и безусловная плотность вероятности того, что частица существует еще некоторое время.$t$измеряется с любого времени, исходя из предположения об отсутствии памяти. Таким образом, мы должны иметь:

$$\left(1 - \int_0^\delta f(u)du\right)\,f(t) = f(t+\delta),\;\forall \delta>0$$

Сдача$\delta\rightarrow 0$, получим дифференциальное уравнение$f^\prime(t) = - f(0) f(t)$, единственное решение которого$f(t) = \frac{1}{\tau}\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)$. Легко проверить, что эта функция удовлетворяет общему функциональному уравнению$\left(1 - \int_0^\delta f(u)du\right)\,f(t) = f(t+\delta)$для любого$\delta > 0$также.

---

Как ответил Ахметелиговорит, что настоящая безпамятность на самом деле несовместима с простыми квантовыми моделями. Например, экспоненциальное время жизни возбужденного флуорофора можно вывести из простой модели одиночного возбужденного флуорофора с двумя состояниями, одинаково связанного со всеми модами электромагнитного поля. Загвоздка в том, что вывод основан на аппроксимации интеграла по модам поля положительной энергии интегралом по всем энергиям, как положительным, так и отрицательным. Это, конечно, нефизично, но является превосходным приближением, поскольку будут возбуждены только моды, близкие к энергетической щели атома с двумя состояниями: флуорофор «пытается» возбудить все моды в равной степени, но деструктивная интерференция предотвращает значительную связь с модами с сильно отличающейся энергией, чем у атома. разница между энергиями состояний по обе стороны от перехода.

Я показываю, как этот анализ делается в этом ответе здесь и здесь .

Ширина линии в большинстве случаев чрезвычайно мала по сравнению с частотами соответствующих фотонов, поэтому я нахожу удивительным и весьма замечательным, что Ахметели цитирует статью, в которой экспериментально подтверждается непостоянство времени жизни.

Около 60 лет назад Хальфин показал, что строго экспоненциальное затухание на самом деле несовместимо с квантовой теорией, и должны быть крошечные отклонения как для очень малых, так и для очень больших времен. См. подробности и ссылки, скажем, в Nature vol. 335, с. 298 (22 сентября 1988 г.). Кажется, есть и экспериментальное подтверждение: http://dro.dur.ac.uk/4234/1/4234.pdf (PRL 96, 163601, 2006). Итак, строго говоря, время жизни не может быть постоянным.

РЕДАКТИРОВАТЬ (28.04.2015): доказательство можно найти, например, на http://www.ias.ac.in/pramana/fm2001/QT4.pdf (Pramana - журнал физики, том 56, стр. 169 -178). Доказательство использует тот факт, что спектр гамильтониана ограничен снизу, и теорему Пэли-Винера

Что такое "средний срок службы"? Вы берете среднее время жизни многих одинаковых атомов, т.е.

$$T_{\text{avg}} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} T_n$$

Это случайная величина, зависящая от вашего распределения$T_n$, что в вашем случае является экспоненциальной функцией:$p(T_n = t) = \alpha e^{-\alpha t}$если$t\ge 0$и ноль в противном случае. Зная это, можно рассчитать распределение «среднего времени жизни» как

$$p(T_{\text{avg}}) = \int_0^\infty dt_1 \dots \int_0^\infty dt_N\ \delta\!\left(t - \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} t_n \right)\ \prod_{n=1}^{N}p(T_n = t_n)$$ $$= N\int_0^\infty dt_2 \dots \int_0^\infty dt_N\ p\!\left(T_1 = Nt-\sum_{n=2}^{N}t_n\right)\ \prod_{n=2}^{N}p(T_n = t_n)$$ Здесь аргумент о $p(T_1 =\dots)$может стать меньше нуля, поэтому необходимо обрезать верхние интегральные границы. $$\dots = N\int_0^{Nt}dt_2 \int_0^{Nt-t_2}dt_3 \dots \int_0^{Nt-\sum_{n=2}^{N-1}t_n}dt_N\ \alpha e^{-\alpha (Nt - \sum_{n=2}^{N} t_n)}\ \prod_{n=2}^{N} \alpha e^{-\alpha t_n}$$ $$=N\alpha^N e^{-\alpha Nt} \int_0^{Nt}dt_2 \int_0^{Nt-t_2}dt_3 \dots \int_0^{Nt-\sum_{n=2}^{N-1}t_n}dt_N\ 1$$ $$=N\alpha^N e^{-\alpha Nt} \int_0^{Nt}dt_2 \int_0^{Nt-t_2}dt_3 \dots \int_0^{Nt-\sum_{n=2}^{N-2}t_n}dt_{N-1}\ \left(Nt-\sum_{n=2}^{N-1}t_n\right)$$ $$=N\alpha^N e^{-\alpha Nt} \int_0^{Nt}dt_2 \int_0^{Nt-t_2}dt_3 \dots \int_0^{Nt-\sum_{n=2}^{N-3}t_n}dt_{N-2}\ \frac{1}{2}\left(Nt-\sum_{n=2}^{N-2}t_n\right)^2$$ $$\dots$$ $$=\frac{N}{(N-1)!}\alpha^N (Nt)^{N-1} e^{-\alpha Nt}$$

Для очень больших$N$, это становится функцией с очень острым пиком, и пик находится там, где производная по$t$становится нулем:

$$T_{\text{avg}} = \frac{1}{\alpha} \frac{N}{N-1} \approx \frac{1}{\alpha}$$

Это среднее время жизни ваших изотопов. Обратите внимание, что это равно ожидаемому времени жизни одного изотопа:

$$t_{\text{expected}} = \int_0^\infty dt\ t\cdot p(T_1 = t) = \int_0^\infty dt\ t\alpha e^{-\alpha t} = \frac{1}{\alpha}$$

что, вероятно, вы имели в виду. Ожидаемое время жизни атома не меняется со временем. Представьте, что вы ожидаете, что время жизни составит 1 минуту, когда вы начнете наблюдать за одним атомом. Затем, когда прошло полминуты, какое дальнейшее время жизни вы ожидаете? Еще целая минута. Это может показаться странным, но сравните это с другими азартными играми.

Например, если вы подбрасываете монету, и она выпадает орлом, не следует ожидать, что монета выпадет решкой при следующем броске. Не стоит даже думать, что это несколько более вероятно. Второй бросок имеет точно такие же шансы, как и первый.

То же и с атомами. Неважно, когда вы начнете наблюдать за атомом, у него всегда одно и то же ожидаемое время жизни,$\frac{1}{\alpha}$, и он даже не меняется, пока вы его наблюдаете.

Вы правы, средний срок службы остается прежним. В контексте вашего примера, если у вас есть$N$ядра в любой произвольный момент времени$t_0$и если$T$период полураспада ядра, то за время$t_0 + T$, половина из них сгнила бы.

Что$T$не зависит от того, когда вы начали вести отсчет времени, является ключевым наблюдением, позволяющим сделать углеродный анализ надежным инструментом для оценки возраста окаменелостей.