Можем ли мы найти формулу экспоненциального радиоактивного распада из первых принципов?

Если вы хотите быть очень придирчивым к этому, затухание не будет экспоненциальным. Экспоненциальное приближение не работает как на малых, так и на больших временах:

• На малых временах теория возмущений диктует, что амплитуда канала распада будет линейно возрастать со временем, а это означает, что вероятность распада на малых временах только квадратична, а вероятность выживания слегка округляется вблизи$t=0$прежде чем спуститься как$e^{-t/\tau}$. Это не должно вызывать удивления, поскольку вероятность выживания инвариантна по отношению к обращению времени и, следовательно, должна быть четной функцией.

• На очень больших временах существуют ограничения на то, как быстро может затухать амплитуда связанного состояния, которые в основном связаны с тем фактом, что гамильтониан ограничен снизу, и которые я подробно продемонстрирую ниже.

Оба эти режима очень трудно наблюдать экспериментально. В короткие промежутки времени вам обычно требуется очень хорошее временное разрешение и возможность мгновенно подготовить вашу систему. В течение длительного времени вам, вероятно, не нужно было бы выходить так далеко, но, как правило, очень трудно получить хорошее отношение сигнал/шум, потому что экспоненциальный спад в значительной степени убил все ваши системы, поэтому вам нужны очень большие населения, чтобы действительно увидеть это.

Однако оба рода отклонений действительно можно наблюдать экспериментально. При длительных временах первое наблюдение

Нарушение экспоненциального закона затухания на больших временах. С. Роте, С. И. Хинчих и А. П. Монкман. физ. Преподобный Летт. 96 163601 (2006) ; Электронная почта Даремского университета .

(Чтобы подчеркнуть сложность этих наблюдений, они должны были наблюдать нестабильную систему в течение 20 жизней, чтобы наблюдать отклонения от экспоненциального, к тому времени$\sim10^{-9}$населения остается.) На короткое время первые наблюдения

Экспериментальные доказательства неэкспоненциального распада при квантовом туннелировании. С.Р. Уилкинсон и соавт. Природа 387 нет. 6633 стр. 575 (1997) . UT Остин eprint ,

которые измерили туннелирование атомов натрия внутри оптической решетки, и

Наблюдение квантовых эффектов Зенона и Анти-Зенона в нестабильной системе. М. С. Фишер, Б. Гутьеррес-Медина и М. Г. Райзен. физ. Преподобный Летт. 87 , 040402 (2001) , UT Austin eprint (ps) .

Чтобы было ясно, вероятность выживания метастабильного состояния для всех практических целей экспоненциальна. Только в тщательном эксперименте — с большими популяциями в течение очень длительного времени или с очень точным временным контролем — можно наблюдать эти отклонения.

---

Рассмотрим систему, инициализированную в$t=0$в штате$|\psi(0)⟩=|\varphi⟩$и оставили развиваться под не зависящим от времени гамильтонианом$H$. Вовремя$t$, амплитуда выживания, по определению,

$$A(t)=⟨\varphi|\psi(t)⟩=⟨\varphi|e^{-iHt}|\varphi⟩$$ а вероятность выживания равна $P(t)=|A(t)|^2$. (Обратите внимание, однако, что это разумное, но загруженное определение; для получения более подробной информации см. этот другой мой ответ .) Предположим, что $H$имеет полный собственный базис $|E,a⟩$, который можно дополнить дополнительным индексом $a$обозначающие собственные значения множества $\alpha$операторов для формирования CSCO , поэтому вы можете записать идентификационный оператор как $$1=\int\mathrm dE \mathrm da|E,a⟩⟨E,a|.$$ Если вы подставите это в выражение для $A(t)$вы можете легко привести его в форму $$A(t)=\int \mathrm dE\, B(E)e^{-iEt},\quad\text{where}\quad B(E)=\int \mathrm da |⟨E,a|\varphi⟩|^2.$$ Здесь легко увидеть, что $B(E)\geq0$а также $\int B(E)\mathrm dE=1$, так $B(E)$нужно вести себя довольно хорошо, и в частности, это в $L^1$по энергетическому спектру.

Вот тут-то и появляется энергетический спектр. В любой реальной физической теории спектр гамильтониана должен быть ограничен снизу, поэтому существует минимальная энергия$E_\text{min}$, для удобства установите на 0, ниже которого спектр не имеет поддержки. Это выглядит вполне невинно и позволяет нам уточнить наше выражение для$A(t)$в безобидный на вид

$$A(t)=\int_{0}^\infty \mathrm dE\, B(E)e^{-iEt}.\tag1$$ Как оказалось, теперь это предотвратило асимптотическое затухание $e^{-t/\tau}$от происходящего.

Причина этого в том, что в таком виде$A(t)$аналитична в нижней полуплоскости. Чтобы увидеть это, рассмотрим сложное время$t\in\mathbb C^-$, для которого

$$\begin{align} |A(t)| & =\left|\int_0^\infty B(E)e^{-iEt}\mathrm dE\right| \leq\int_0^\infty \left| B(E)e^{-iEt}\right|\mathrm dE =\int_{0}^\infty \left| B(E)\right|e^{+E \mathrm{Im}(t)}\mathrm dE \\ & \leq\int_{0}^\infty \left| B(E)\right|\mathrm dE=1. \end{align}$$ в качестве $\mathrm{Im}(t)<0$. Это означает, что интеграл $(1)$существует для всех $t$для которого $\mathrm{Im}(t)\leq 0$, и из-за его формы это означает, что он аналитичен в $t$во внутренних районах этого региона.

Это хорошо, но это также и убийственно, потому что аналитические функции могут быть очень ограничены с точки зрения того, как они могут себя вести. Особенно,$A(t)$экспоненциально растет в сторону увеличения$\mathrm{Im}(t)$и экспоненциально затухает в сторону уменьшения$\mathrm{Im}(t)$. Это означает, что его поведение вдоль$\mathrm{Re}(t)$в принципе должно быть что-то вроде осциллятора, но можно обойтись и чем-то вроде затухания. Однако вам не обойтись без экспоненциального затухания в обоих направлениях.$\mathrm{Re}(t)$- она ​​просто больше не совместима с требованиями аналитичности.

Способ сделать это точным состоит в том, чтобы использовать так называемую теорему Пэли-Винера, которая в данном конкретном случае требует, чтобы

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\left|\ln|A(t)|\right|}{1+t^2}dt<\infty.$$ Это, конечно, шаткий интеграл, если кто-нибудь когда-либо его видел, но вы можете видеть, что если $A(t)\sim e^{-|t|/\tau}$для больших времен $|t|$( $A(t)$должен быть симметричным по отношению к обращению времени), то интеграл слева (лишь чуть-чуть) расходится. Можно многое сказать о том, почему это происходит, но для меня суть такова: аналитичность требует некоторых ограничений на скорость $A(t)$может распасться вдоль действительной оси, и когда вы делаете расчет, это оказывается так.

(Для тех, кто задается вопросом: да, эта граница насыщена. Начать копать можно с теоремы Берлинга-Маллявена, но я не могу обещать, что это не будет болезненно.)

---

Для получения более подробной информации о доказательствах и интуиции, стоящей за этим материалом, см. мой вопрос MathOverflow Теорема Пэли-Винера и экспоненциальное затухание и ответ Александра Еременко там , а также статью

Л. Фонда, Г. Г. Гирарди и А. Римини. Теория распада неустойчивых квантовых систем. Респ. прог. физ. 41 , стр. 587-631 (1978) . §3.1 и 3.2.

из которого была взята большая часть этого материала.

Вообще говоря, радиоактивный распад не является экспоненциальным. Ответ Эмилио Писанти обсуждает это с причудливой математической точки зрения, но это можно понять в чрезвычайно элементарных терминах.

Экспоненциальное затухание следует из линейности, необратимости и предположения о четко определенном начальном состоянии.

В таких областях, как атомная и ядерная физика, мы обычно думаем о начальном состоянии распада как об одном состоянии, имеющем определенную энергию. В этих примерах это обычно превосходное приближение, поскольку неопределенность энергии, налагаемая принципом неопределенности энергия-время, намного меньше, чем энергии возбуждения. Например, первое возбужденное состояние ядра обычно может иметь энергию возбуждения 1 МэВ и время жизни гамма-распада 1 пс, что дает неопределенность энергии$\Delta E\sim 10^{-8}$МэВ. Отношение$\Delta E\ll E$, куда$E$— энергия распада, в контексте атомной физики называется приближением Вайскопфа-Вигнера. Когда это приближение выполняется, начальное нестабильное состояние не имеет внутренней памяти или динамики, которые могут каким-либо образом повлиять на проблему.

Позволять$|0\rangle$— неустойчивое состояние, и пусть$|i\rangle$быть конечным состоянием, помеченным квантовыми числами$i$. Если (нормированное) состояние при$t=0$является

$$\Psi_0 = |0\rangle,$$

то через какое-то время у нас будет какое-то другое состояние

$$\Psi_1 = a|0\rangle + \sum b_i|i\rangle.$$

Новое состояние получается как$\Psi_1=M\Psi_0$, куда$M$является оператором эволюции во времени для любого временного интервала, о котором мы говорим. Теперь предположим, что распад необратим, так что$M|i\rangle$никогда не пересекается с$|0\rangle$. Тогда, если мы оперируем с$M$второй раз получаем

$$\Psi_2 = a^2|0\rangle + \ldots$$

Это экспоненциальное затухание с вероятностью выживания, равной$1$,$|a|^2$,$|a|^4$, ... Мы должны иметь$|a|\le 1$по унитарности, так как в противном случае нормализация потерпит неудачу при$t>0$. (Конечно, мы могли бы иметь необратимое поглощение, а не необратимое излучение, и тогда$|a|\ge 1$, но тогда начальное состояние не может быть$|0\rangle$. Дело$|a|=1$происходит, когда$|0\rangle$является точным энергетическим собственным состоянием.)

Так что это кажется железным аргументом в пользу того, что распад должен быть экспоненциальным. Что возможно могло пойти не так?

Неудача в короткие сроки

Одна вещь пойдет не так, если мы экстраполируем назад во времени, чтобы$t<0$. Вероятность неустойчивого состояния теперь больше 1, что нарушает унитарность. Это означает, что по чисто тривиальным причинам поведение не может быть экспоненциальным для всех$t$. В достаточно ранние моменты времени должно наблюдаться сильно неэкспоненциальное поведение, и мы ожидаем какой-то плавный переход между двумя режимами.

В этом нет ничего сверхъестественного, и для этого не нужны причудливые представления о преобразованиях Фурье или квантовой теории поля. Это просто связано с подготовкой исходного состояния. Например, предположим, что мы составляем потенциал, состоящий из ямы, барьера и внешней области, и решаем в этом потенциале одномерное уравнение Шрёдингера. Если мы начнем нашу симуляцию с инициализации волновой функции какой-то произвольной формы внутри нестабильной ямы, то она будет состоять из некоторой смеси энергетических состояний. Состояния с более высокой энергией будут туннелировать через барьер с высокой скоростью. Через некоторое короткое время они все исчезнут, и у нас будет что-то внутри барьера, что будет выглядеть как полуволновая модель стоячей волны. Затем он будет экспоненциально затухать, как описано выше.

Можно сказать, что вы просто собираетесь сначала подготовить систему в собственном энергетическом состоянии, чтобы не было переходного периода до того, как наступит экспоненциальное поведение. Это не работает, потому что собственные энергетические состояния не локализованы внутри метастабильной ямы. Состояния хорошей энергии не локализованы, а локализованные состояния не являются состояниями хорошей энергии. Локализованное состояние может быть приблизительно состоянием с хорошей энергией, и именно это приближение мы неявно делаем в большинстве случаев в атомной и ядерной физике — приближение Вайскопфа-Вигнера.

Неудача в течение длительного времени

На очень больших временах есть другая причина ожидать отклонений от экспоненциального поведения. Затухающая экспонента быстро падает от одного порядка величины к другому. Если вообще существует какая-то скорость обратного процесса (например, реабсорбция фотона), то наступит момент, когда эта скорость уравновесит скорость распада. Поскольку экспоненциалы умирают так быстро, мы на самом деле не ожидаем, что это время будет очень долгим, хотя оно зависит от среды. После этого момента времени скорость излучения будет приближаться к отличной от нуля константе, равной скорости поглощения.

Экспериментальным примером такого рода вещей является Rothe et al., «Нарушение закона экспоненциального распада на больших временах» Physical Review Letters, 96(16), doi:10.1103/physrevlett.96.163601. Кажется, его нет в arxiv, но вы можете найти его на sci-hub. Они использовали люминесцентные органические молекулы в растворе толуола или этанола. Они возбудили молекулы с помощью импульсного лазера. Я не думаю, что в этом есть что-то принципиально очень удивительное или таинственное. Молекулы находятся в грязной жидкой среде и подвергаются воздействию электромагнитных полей других молекул. В этой среде они с некоторой скоростью снова возбуждаются. Есть некоторые нетривиальные факты о математическом поведении кривых затухания, но сам факт отклонения от экспоненциального затухания может быть только потому, что процесс

Любая популяция, будь то люди, животные или атомные ядра, будет без каких-либо осложнений изменяться пропорционально уже существующему количеству. Получится очень простое дифференциальное уравнение.

$$\frac{dP(t)}{dt} = k\,P(t)$$

куда$k$является константой с отрицательным знаком для экспоненциального убывания и знаком плюс для экспоненциального роста.

то есть решение

$$P(t)=P(t=0)\exp(kt)$$

Простой и прямой способ получить этот показатель степени и комплексные собственные значения - использовать подход Гамова, который был одним из первых представленных объяснений альфа-радиоактивности.

Он решает уравнение Шредингера в приближении ВКБ, не требуется никаких математических выдумок или глубоких знаний в области QM, за исключением знакомства с ВКБ.

Хорошим источником для этого является «Мохсен Разави, Квантовая теория туннельного мира, научное издание (2013)».