Средняя скорость (v¯⃗v¯→\vec{\bar{v}}) Интуиция и аналогия для неравномерного ускорения

Фон

Итак, я пытался понять кинематику с помощью интуиции после первого семестра университетской физики, и я наткнулся на дилемму, с которой не могу справиться.

В частности, я застрял в вопросе средней скорости. Насколько я понимаю, в кинематике есть два определения, через которые можно вывести все остальное($\Delta{t}\neq 0$):

$$\begin{align} \vec{\bar{v}} &= \frac{\Delta{\vec{x}}}{\Delta{t}} \tag{1}\label{1}\\ \vec{\bar{a}} &= \frac{\Delta{\vec{v}}}{\Delta{t}} \tag{2}\label{2} \end{align}$$

Есть, если мне не изменяют мои познания, несколько способов вывода уравнений после этой точки. Один через исчисление; например, интегрирование для решения уравнений, описывающих смещение в терминах постоянного ускорения.

Другой основан на предположении, что всякий раз, когда$\vec{\bar{a}}$постоянна (по величине и направлению, поправьте меня, если я ошибаюсь), что:

$$\vec{\bar{v}} = \frac{\vec{v}(t)+\vec{v}_i}{2}\tag{3}\label{3}$$

Благодаря этому вы можете алгебраически комбинировать уравнения, чтобы получить те же уравнения, которые вы иначе получили бы с помощью исчисления.

---

Вопрос 1

Однако это заставило меня задуматься – какая интуиция стоит за этим уравнением равномерного ускорения?$\eqref{3}$?

Если мой Cal I не подводит меня, для любого заданного интервала функции среднее значение равно:

$$\bar{f} = \frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a} \tag{4}$$

Если мы применим эту идею к средней скорости (при условии, что мы можем распространить логику на векторы), мы получим следующее:

$$\vec{\bar{v}} = \frac{\int_{t_1}^{t_2} \vec{v}(t)dt}{\Delta{t}} \tag{5}\label{5}$$ (Примечание: не уверен, считается ли средняя скорость функцией времени, если да, я предполагаю, что она обозначается$\vec{\bar{v}}(t)$. Еще раз, поправьте меня, если я ошибаюсь, пожалуйста.)

От$\eqref{2}$мы можем решить для$\vec{v}(t)$и подключите к$\eqref{5}$(иначе интеграл сводится к$\eqref{1}$).

В результате получаем:

$$\begin{equation}\begin{aligned} \vec{\bar{v}} &= \frac{\int_{t_1}^{t_2} (\vec{v}_i+\vec{\bar{a}}\Delta{t})dt}{\Delta{t}}\\ &= \frac{\vec{v}_i\Delta{t}+\frac{1}{2}\vec{\bar{a}}\Delta{t^2}}{\Delta{t}}\\ &= \vec{v}_i+\frac{1}{2}\vec{\bar{a}}\Delta{t} \end{aligned}\end{equation}\tag{6}$$ Заменив$\vec{\bar{a}}$с $\eqref{2}$, мы получаем $\eqref{3}$, именно с этого мы и собирались начать. Но почему это работает?

---

вопрос 2

Мой второй вопрос связан с тем, существует ли подобное уравнение для средней скорости за пределами$\eqref{1}$, желательно с точки зрения$\vec{v}_i$и$\vec{v}(t)$с неравномерным ускорением. Либо конкретно в случае рывка , определяемого как

$$\vec{\bar{j}} = \frac{\Delta\vec{{a}}}{\Delta{t}}\tag{7}$$ или, что еще лучше, обобщено на любую функцию скорости$\vec{v}(t)$!

---

Прогресс до сих пор

Я думал о трех различных возможностях найти эту неуловимую обобщенную функцию средней скорости, причем каждая гипотеза менее желательна, чем предыдущая. Во-первых, это, возможно, форма

$$\vec{\bar{v}} = \frac{\vec{v}(t)+\vec{v}_i}{k}$$ где k - безразмерная константа, которая может зависеть от конкретной функции скорости частицы или объекта в игре.

Во-вторых, это намного сложнее, вероятно, не в вышеупомянутой форме и, возможно, не может быть выражено без добавления дополнительных переменных (например,$\vec{a}_i?$) в смесь.

Последнее заключается в том, что такой функции не существует, я предполагаю, что, возможно, из-за$\vec{v}(t)$не является линейным, поскольку$\vec{a}(t)$больше не является постоянным (ноль включен).

Помощь будет принята с благодарностью! Кроме того, пожалуйста, не стесняйтесь исправлять любые и все мои обозначения, так как это моя первая публикация, и мне нужны улучшения.