Нулевая скорость, нулевое ускорение?

Question

Нулевая скорость, нулевое ускорение?

7453рфг

В одном измерении ускорение частицы можно записать как:

а знак равно \frac{г в}{г т} знак равно \frac{г в}{г Икс} \frac{г Икс}{г т} знак равно в \frac{г в}{г Икс}

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$

Означает ли это уравнение, что если:

в знак равно 0

$v = 0$

Затем,

\Rightarrow а знак равно 0

$\Rightarrow a = 0$

Я могу вспомнить несколько ситуаций, когда частица имеет ненулевое ускорение, несмотря на то, что находится в состоянии мгновенного покоя. Что тут происходит?

Горячие Лики

Подбросить мяч в воздух. Как только он покинет вашу руку, он будет непрерывно (игнорируя сопротивление воздуха) ускоряться вниз со скоростью 32f/s/s. В какой-то момент мяч достигнет вершины дуги и будет иметь нулевую скорость, но в этой точке он все равно будет ускоряться вниз. (Если бы он не ускорился вниз, он бы «застрял» в воздухе.)

Эрик Липперт

Мне трудно понять вашу математику здесь, потому что кажется, что вы определяете v как функцию времени и функцию положения. Также, когда вы говорите «v = 0», вы имеете в виду «существует время, когда скорость равна нулю», или «существует положение, когда скорость равна нулю», или «функция скорости — это функция, которая везде равна нулю»? Я думаю, что если вы более тщательно определите, что такое v, вы проясните свою путаницу.

Эрик Липперт

@HotLicks: исходный вопрос не в том, «что такое ситуация, когда скорость равна нулю, а ускорение — нет?» - ОП отмечает, что таких ситуаций много. Вопрос в том, «что не так с моей математикой?», а что не так с математикой, так это объединение v как функции времени с v как функцией положения. Однако ваш пример очень полезен, потому что он иллюстрирует фундаментальную проблему: для одномерного движения мяча, который подбрасывается вверх и падает вниз, скорость не зависит от положения , потому что существуют положения с двумя разными скоростями!

Ответы (7)

Нулевая скорость, нулевое ускорение?

Подбросить мяч в воздух. Как только он покинет вашу руку, он будет непрерывно (игнорируя сопротивление воздуха) ускоряться вниз со скоростью 32f/s/s. В какой-то момент мяч достигнет вершины дуги и будет иметь нулевую скорость, но в этой точке он все равно будет ускоряться вниз. (Если бы он не ускорился вниз, он бы «застрял» в воздухе.)
Мне трудно понять вашу математику здесь, потому что кажется, что вы определяете v как функцию времени и функцию положения. Также, когда вы говорите «v = 0», вы имеете в виду «существует время, когда скорость равна нулю», или «существует положение, когда скорость равна нулю», или «функция скорости — это функция, которая везде равна нулю»? Я думаю, что если вы более тщательно определите, что такое v, вы проясните свою путаницу.
@HotLicks: исходный вопрос не в том, «что такое ситуация, когда скорость равна нулю, а ускорение — нет?» - ОП отмечает, что таких ситуаций много. Вопрос в том, «что не так с моей математикой?», а что не так с математикой, так это объединение v как функции времени с v как функцией положения. Однако ваш пример очень полезен, потому что он иллюстрирует фундаментальную проблему: для одномерного движения мяча, который подбрасывается вверх и падает вниз, скорость не зависит от положения , потому что существуют положения с двумя разными скоростями!

hft · Answer 1

Правильнее было бы сказать, что «если v=0 и dv/dx конечно, то a=0».

Простой пример, который поможет проиллюстрировать происходящее, — хорошо известный случай постоянного ускорения «-g» вблизи поверхности земли. В этом примере мы считаем «x» высотой над землей и предполагаем, что начальный x равен нулю.

В таком случае

Икс знак равно - \frac{грамм т^{2}}{2} + в_{0} т

$x=-\frac{gt^2}{2}+v_0t$

в знак равно в_{0} - грамм т

$v=v_0-gt$ а также

а знак равно - грамм

$a=-g$ и, очевидно, "а" никогда не может быть нулем, но "v" может быть нулем... так что же дает? Ну... решение t(x) дает

т (Икс) знак равно \frac{1}{грамм} (в_{0} \pm \sqrt{в_{0}^{2} - 2 грамм Икс})

$t(x)=\frac{1}{g}(v_0\pm\sqrt{v_0^2-2gx})$ а также

в (Икс) \equiv в (т (Икс)) знак равно \pm \sqrt{в_{0}^{2} - 2 грамм Икс}

$v(x)\equiv v(t(x))=\pm\sqrt{v_0^2-2gx}$ так что

\frac{г в}{г Икс} знак равно \frac{\pm грамм}{\sqrt{в_{0}^{2} - 2 грамм Икс}}

$\frac{dv}{dx}=\frac{\pm g}{\sqrt{v_0^2-2gx}}$ ... который удобно бесконечен, когда v равно нулю.

Кроме того, я думаю, что более естественный способ осмысления этого вопроса можно найти, рассмотрев, что мы на самом деле подразумеваем под

в (Икс)

$v(x)$ и как нам взять производную wrtx

На самом деле мы имеем в виду, что если задана некоторая функциональная форма для «v» как функции от «t», называемая «v(t)», и задана некоторая функциональная форма для «x» как функции от «t», называемая «x( t)», и учитывая, что «x(t)» можно инвертировать, чтобы найти «t(x)», то, как упоминалось выше

в (Икс) знак равно в (т (Икс)),

$v(x)=v(t(x))\;,$ что является глупой физической нотацией. Это явно глупое обозначение, потому что «v()» в левой части не может на самом деле иметь ту же форму, что и «v()» в правой части. Так что на самом деле давайте назовем это

\tilde{v}

$\tilde v$ . то есть,

\tilde{в} (Икс) знак равно в (т (Икс))

$\tilde v(x)=v(t(x))$ Эта функция

\tilde{v}

$\tilde v$ является функцией от x, а производная по x равна

\frac{г \tilde{в}}{г Икс} (Икс) знак равно \frac{г в}{г т} (т (Икс)) \frac{г т}{г Икс} знак равно \frac{\frac{г в}{г т} (т (Икс))}{\frac{г Икс}{г т}} знак равно \frac{а (т (Икс))}{в (т (Икс))}

$\frac{d\tilde v}{dx}(x)=\frac{dv}{dt}(t(x))\frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dv}{dt}(t(x))}{\frac{dx}{dt}}=\frac{a(t(x))}{v(t(x))}$ Т.е., (возвращаясь к глупым обозначениям и не записывая аргументы функций)

\frac{г в}{г Икс} знак равно \frac{а}{в},

$\frac{dv}{dx}=\frac{a}{v}\;,$ поэтому ясно, что для постоянной а dv/dx бесконечно, когда v=0.

"Бесконечный"? Ты уверен? Вы, по-видимому, объединяете неопределенные значения (в пределах) с бесконечностью, особенно в случае извлечения квадратного корня из отрицательного значения (предположительно, вы запрещаете комплексные числа): результат не существует, а не бесконечен.
Это не разговорное, это неправильно... Я не думаю, что это было бы менее понятно
Учтите, что мой мяч, брошенный в воздух, может иметь скорость, равную нулю, в момент времени T, но любая дельта-T вне этого момента времени (по крайней мере, в ньютоновской механике) обязательно будет иметь ненулевую скорость. Я думаю, что математика неверна.
Вы думаете, что математика не так? Ясно, что в примере скорость равна нулю в вершине траектории и отлична от нуля до и после… и что?
@hft - Утверждение, что dv/dx бесконечно.
Я думаю, что его точка зрения заключается в том, что у вас есть асимптота при v = 0, левый предел +infty, а правый предел -infty. Математическая проблема заключается в том, что она не определена при v = 0, но обсуждение бесконечности дает представление о том, почему это так.

Альфред Центавр · Answer 2

Нет, это не означает, что $a = 0$ .

Если при некотором значении $t = t_0$ , ускорение не равно нулю, а скорость равна нулю, функция положения либо минимальна, либо максимальна. То есть, $x(t)$ там стационарно :

Икс (т_{0} + г т) знак равно Икс (т_{0})

$x(t_0 + dt) = x(t_0)$

что означает, что при $t = t_0$

\frac{г Икс}{г \dot{Икс}} знак равно \frac{г Икс}{г в} знак равно 0

$\frac{dx}{d\dot x} = \frac{dx}{dv} = 0$

таким образом $\frac{dv}{dx}$ не определено в $t = t_0$ .

Павел · Answer 3

Вы можете применить цепное правило, если $v$ дифференцируема относительно $x$ а также $x$ дифференцируема относительно $t$ . Я думаю, что других условий нет, как, кажется, говорит этот пост на MathSE, https://math.stackexchange.com/questions/688152/necessary-conditions-for-the-chain-rule-of-дифференциация -действительный # =

и это условие не всегда доступно. Когда $v=0$ ,убедиться $\frac{dv}{dx}$ существует.

Связанный пост: Когда можно писать $a=v \cdot dv/dx$ ?

шпилька · Answer 4

шпилька

Обратите внимание, что когда вы применяете цепное правило, вы предполагаете, что dx не равно нулю. Это прояснит это для вас.

Руслан

Никто не умножает и не делит на

d x

$dx$ . Мы просто используем цепное правило .

шпилька

это то же самое. Доказательство Цепного правила требует этого критерия. Я отредактирую ответ тогда.

Руслан

Нет, это не так. Цепное правило вообще не полагается на дифференциалы.

шпилька

@Руслан, тогда каковы его доказательства? Я думал, что цепное правило предназначено для дифференциации, поэтому его доказательство будет иметь эту концепцию.

Руслан

Просто прочитайте статью в Википедии .

Эрик Липперт · Answer 5

Я хочу пойти другим путем, чем другие ответы. Это будет скорее один большой взмах руки, чем строгий математический аргумент, но я надеюсь, что идея будет интуитивно понятной.

Во-первых, как я отметил в комментарии и как отмечает hft, вы используете «v» для обозначения как «скорости как функции времени», так и «скорости как функции положения». Это сбивает с толку, но в этом нет никакой фундаментальной проблемы. Кроме...

За исключением того, что ваша математика зависит от способности различать скорость по положению. Это требует, чтобы скорость действительно была функцией положения.

При каких обстоятельствах одномерная скорость действительно может быть функцией положения? Для каждого положения должна быть ровно одна скорость. Что это означает для нашей скорости? Что он никогда не должен менять знак! Потому что, если она меняет знак, то наша частица иногда движется вперед, а иногда назад, и, следовательно, должна быть позиция , которая проходит и назад, и вперед, и, следовательно, скорость не будет функцией положения.

Поэтому без ограничения общности предположим, что скорость никогда не бывает отрицательной. Предположим также, что функции положения, скорости и ускорения непрерывны и дифференцируемы, и все такое прочее.

Теперь давайте подумаем о физическом аспекте этой ситуации в отношении ускорения.

Предположим, что скорость положительна, а ускорение равно нулю или положительно.

Частица ускоряется вправо, ее положение становится все более и более положительным, все время быстрее, если ускорение положительно, и не медленнее, если оно равно нулю. Ясно, что скорость никогда не будет равна нулю, если это будет продолжаться.

Предположим, что скорость положительна, а ускорение отрицательно. Наша частица становится все медленнее и медленнее. Заметьте, всегда двигайтесь вправо, потому что, по предположению, скорость зависит от положения. Но с каждым разом все медленнее и медленнее.

Теперь предположим, что он становится все медленнее, медленнее и медленнее, но никогда не достигает нулевой скорости в любой момент времени. Нет проблем. Ускорение должно становиться все ближе и ближе к нулю, но ни ускорение, ни скорость не достигают нуля.

Итак, мы исключили из рассмотрения множество случаев — случай, когда ускорение равно нулю, а скорость никогда не меняется, случай, когда ускорение положительно, а скорость никогда не уменьшается, и случай, когда ускорение отрицательно, а скорость приближается к и ближе к нулю, но никогда туда не попадает. Нас интересуют только ситуации, когда скорость достигает нуля.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда начальная скорость положительна, ускорение отрицательно, и в результате скорость в какой-то момент становится равной нулю. Что должно произойти с ускорением в точке, где скорость становится равной нулю ? Ускорение не может быть отрицательным в этой точке, потому что если бы оно было, то частица начала бы двигаться назад, а мы знаем, что она этого не делает. В этой точке ускорение должно быть либо нулевым, либо положительным.

Предположим, что ускорение положительно в тот момент, когда скорость равна нулю. Ясно, что до того, как скорость стала нулевой, она была отрицательной; мы не могли бы замедлиться до нуля с положительной скорости, если бы ускорение было положительным или нулевым. Но это противоречит нашему предположению, что функция ускорения была хорошей гладкой дифференцируемой функцией! Ускорение мгновенно переходило от отрицательного значения к положительному, не переходя через ноль, и поэтому не было хорошей непрерывной функцией.

Единственная оставшаяся возможность состоит в том, что ускорение равно нулю в точке, где скорость равна нулю. Что именно вы и хотели показать.

Я могу вспомнить несколько ситуаций, когда частица имеет ненулевое ускорение, несмотря на то, что мгновенно находится в покое. Что тут происходит?

Происходит то, что во всех этих ситуациях либо ускорение в этой точке является прерывистым, либо скорость на самом деле не является функцией положения, как того требует ваша математика.

папарацци · Answer 6

Где взять такую замену?

Это не дробь, как в числах с правилами дробей

Это dv(t) / dt — вы не можете заменить dt вот так.
Это v по отношению к t

Очевидно, что производные имеют разные правила произведения
d(uv)/dx = u ⋅ dv/dx + v ⋅ du /dx

Нет правил для произведенной вами замены или эквивалента.
Для этого нет оснований .

Агниус Василяускас · Answer 7

Нет.

Выражение

а знак равно в \frac{г в}{г Икс}

$a = v \frac{dv}{dx}$

подразумевает, что в случае $v=0$ , позиция не меняется, в этом случае $dx=0$ так что

\frac{г в}{г Икс} знак равно \infty

$\frac {dv}{dx} = \infty$ , таким образом :

а_{(в знак равно 0)} знак равно 0 \cdot \infty знак равно неопределенный

$a_{(v=0)} = 0 \cdot \infty = \text{undefined}$

То, что вы получили на самом деле, - это способ измерения ускорения тела с учетом его градиента скорости:

а знак равно в (\frac{\partial в}{\partial Икс} я + \frac{\partial в}{\partial у} Дж + \frac{\partial в}{\partial г} к) знак равно в_{_{Икс, у, г}} \nabla в

$\mathbf a=v \left({\frac {\partial v}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial v}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial v}{\partial z}}\mathbf {k} \right) = v_{_{x,y,z}} \nabla v$

Нулевая скорость, нулевое ускорение?

7453рфг

Горячие Лики

Эрик Липперт

Эрик Липперт

Ответы (7)

hft

Гонки легкости на орбите

hft

редко

Горячие Лики

hft

Горячие Лики

Павел

Альфред Центавр

Павел

шпилька

Руслан

шпилька

Руслан

шпилька

Руслан

Эрик Липперт

папарацци

Агниус Василяускас

Кинематика с непостоянным ускорением

Каково правильное определение тангенциального ускорения?

Совпадают ли величина и направление силы тяжести на объекте с вертикальной скоростью объекта?

Средняя скорость (v¯⃗v¯→\vec{\bar{v}}) Интуиция и аналогия для неравномерного ускорения

Запрос относительно мгновенной скорости и мгновенного ускорения

Два автомобиля движутся по прямой с разными ускорениями

Как может двигаться объект с нулевым ускорением?

Как мгновенная скорость объекта может быть равна нулю, а его мгновенное ускорение не равно нулю?

Дифференцируйте ч/б скаляр и вектор в ньютоновской механике

Как найти конечную скорость, если ускорение изменяется между двумя значениями на некотором расстоянии? [дубликат]