Стресс-энергетический след безмассового поля Клейна-Гордона

Поле Клейна-Гордона в том виде, в каком вы его написали, на самом деле не является конформно-инвариантным для$D\neq 2$. (Классически он инвариантен к масштабу, но не инвариантен к Вейлю. Квантово-механически даже инвариантность к масштабу нарушена.)

Чтобы получить конформную теорию поля, вам нужно включить так называемую «конформную связь» с гравитацией. Это изменит количество степеней свободы в вашей теории, потому что вы вынуждены учитывать гравитацию. Таким образом, у вас есть два варианта: (1) принять, что поле Клейна-Гордона вокруг фиксированного фона Минковского не является конформно-инвариантным на классическом уровне, или (2) рассмотреть другую физическую теорию, поле КГ, связанное с гравитацией, которая покажет конформная симметрия.

С этой оговоркой. В$D$размеры, конформно связанное скалярное поле задается (с использованием соглашения о подписи «в основном плюс»)

$$\begin{equation} S = \int d^D x \sqrt{-g} \left(-\frac{1}{2} g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{D-2}{8(D-1)}R \phi^2 \right) \end{equation}$$

Последний член дает вклад в тензор энергии напряжения для$\phi$(рассчитано с использованием$T_{\mu\nu}=\frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu }}$):

$$\begin{equation} T_{\mu\nu} = \partial_\mu\phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} (\partial \phi )^2 + \frac{D-2}{4(D-1)} \left(g_{\mu\nu} \square (\phi^2) - \nabla_\mu \nabla_\nu (\phi^2) \right) \end{equation}$$

Последнее слагаемое имеет решающее значение для получения$T=0$, так что вы видите, что теория не является конформной без этой специальной связи.

Теперь вы можете наивно подумать, что, поскольку вы работаете с пространством Минковского, вы можете игнорировать член конформной связи. Это не так! Во-первых, вы можете видеть, что явный расчет показал, что конформная связь привела к вкладу, который не обращается в нуль в пространстве Минковского.

Основная лежащая в основе физика состоит в том, что преобразование Вейля изменяет метрику. Таким образом, даже если вы начнете с плоской метрики Минковского с$R=0$, вообще говоря, после конформного преобразования метрика станет искривленной. Явно, после выполнения преобразования

$$\begin{equation} g_{\mu\nu} \rightarrow e^{2\omega (x) } g_{\mu\nu} \end{equation}$$

скаляр Риччи преобразуется как

$$\begin{equation} R \rightarrow R + 2(D-1)\square \omega - (D-1)(D-2) (\partial \omega)^2 \end{equation}$$

В частности, даже если$R=0$изначально после преобразования Вейля в общем случае будет ненулевое$R$.

Так что скалярное поле вообще должно знать о кривизне метрики, чтобы компенсировать это преобразование. Существует особая, чудесная отмена, которая происходит в$D=2$что позволяет игнорировать этот факт.

Ссылка: http://folk.uio.no/ingunnkw/art/blackholes.pdf