Тахионный вершинный оператор (книга Полчинского)

Во-первых, я хотел бы выяснить это:

$$\left[\hat{p}^{\mu},\exp(ikx)\right]=\left[\hat{p}^{\mu},\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(ik\hat{x})^{n}\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left[\hat{p}^{\mu},(ik\hat{x})^{n}\right]$$ Как видим, для $n=0$, $\left[\hat{p}^{\mu},(ik\hat{x})^{n}\right]$дает ноль. Поэтому в следующих случаях я буду решать задачу для случая, когда n не равно нулю. $$\left[\hat{p}^{\mu},(ik\hat{x})\right]=ik_{\nu}\left[\hat{p}^{\mu},\hat{x}^{\nu}\right]=k^{\mu}$$ $$\left[\hat{p}^{\mu},(ik\hat{x})^{n}\right]=nk^{\mu}(ik\hat{x})^{n-1}$$ Теперь, заменив эти результаты в первом уравнении: $$\left[\hat{p}^{\mu},\exp(ikx)\right]=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}k^{\mu}(ik\hat{x})^{n-1}=k^{\mu}\exp(ik\hat{x})$$ Второй момент заключается в следующем: $$\hat{p}^{\mu}\exp(ik\hat{x})|0,0>=\exp({ik\hat{x}})\hat{p}^{\mu}|0,0>+k^{\mu}\exp({ik\hat{x}})|0,0>$$ $$\hat{p}^{\mu}\exp(ik\hat{x})|0,0>=k^{\mu}\exp({ik\hat{x}})|0,0>$$ Теперь я хотел бы определить состояние $\exp(ik\hat{x})|0,0>$как $|0,k>$, по понятным причинам.

В заключение Полчински написал в своей книге следующее:

Любое состояние можно получить из$|0,0>$работая с операторами$\alpha^{\mu}_{-m},\tilde{\alpha}^{\mu}_{-m},x^{\mu}_{0}$. Тогда оператор, соответствующий этому состоянию, задается нормально упорядоченным произведением соответствующих локальных операторов.
Соответствующие операторы есть в книге, для решения этой задачи вам нужно знать только соответствующий оператор для$x^{\mu}_{0}$является$X^{\mu}(0,0)$.

Следовательно, соответствующий оператор состоянию$|0,k>$является$:e^{ikX(0,0)}:$

Полчински объясняет соответствие оператора состояния в разделе 2.8, в частности уравнения 2.8.3, 2.8.4 и 2.8.9.

То, что вы называете «высшими вершинными операторами», создает несколько частиц (если есть несколько экспоненциальных вершинных операторов) с более высоким спином (если есть дополнительные производные, умножающие экспоненты).