Почему корреляционная функция тензора энергии-импульса обращается в нуль подобно z−4z−4z^{-4} в двумерной КТП?

Я нашел это утверждение в нескольких статьях, но у меня нет четкого объяснения, почему. Говорят, что корреляционная функция тензора энергии-импульса Т ( г ) нравиться < Т ( г ) О 1 О 2 О 3 > исчезает как г − 4 когда г уходит в бесконечность. Кто-нибудь может объяснить, почему?

↑ Какие документы?
@Qmechanic Как и arxiv.org/abs/1108.4417 , выше уравнение D.18

Ответы (2)

На самом деле верно, если Т заменяется любым другим квазипервичным оператором с масштабированием | г | − 2 Δ , Δ "=" час + час ¯ . Кроме того, то же самое верно и для КТМ более высокого измерения. Для Т в 2д у тебя Δ Т "=" 2 . Есть разные способы увидеть это.

Один из способов заключается в том, что фактически евклидовы корреляционные функции могут быть определены на сфере, которая (с удаленным северным полюсом) конформна плоскости через стереографическую проекцию. Эта проекция связывает корреляторы на сфере ⟨ Т ( г ) … ⟩ С 2 и в самолете ⟨ Т ( г ) … ⟩ р 2 . Принимая г до бесконечности эквивалентно отправке Т к северному полюсу сферы. На сфере эта точка не является особой, и коррелятор с Т на северном полюсе является регулярным и ненулевым для общей конфигурации остальных операторов,

⟨ Т ( ∞ ) … ⟩ С 2 ≠ 0 , ∞
Когда вы записываете соотношение, вызванное стереографической проекцией, вы находите что-то вроде
| ⟨ Т ( г ) … ⟩ р 2 | ≃ | г | − 2 Δ Т | ⟨ Т ( г ) … ⟩ С 2 | ,
что объясняет г − 4 демпфирование. Эта формула следует из стандартной формулы изменения коррелятора при преобразовании Вейля (корреляторы предполагаются нормированными как ⟨ 1 ⟩ С 2 "=" ⟨ 1 ⟩ р 2 "=" 1 , иначе вам придется заботиться об аномалии Вейля).

Еще один способ — через OPE. Вы двигаетесь Т до бесконечности, а остальные операторы находятся где-то на фиксированных позициях. В какой-то момент вы можете нарисовать круг вокруг всех остальных операторов, чтобы он не содержал Т . Это означает, что теперь вы можете использовать OPE. В вашем примере вы пишете

О 1 ( г 1 , г ¯ 1 ) О 2 ( г 2 , г ¯ 2 ) О 3 ( г 3 , г ¯ 3 ) "=" ∑ я ( С я ( г 1 , г ¯ 1 , г 2 , г ¯ 2 , г 3 , г ¯ 3 ) О я ( г 1 , г ¯ 1 ) + по убыванию ) ,
где сумма ведется по всем квазипервичным числам в теории и «десц.». обозначают вклад с л 2 ( С ) потомки О я (т.е. потомки с участием л − 1 и л ¯ − 1 только). Предположим, что базис квази-первичных чисел выбран диагональным, т.е. ⟨ О я О Дж ⟩ ∝ дельта я Дж . Затем, взяв ожидаемое значение с Т мы нашли
⟨ Т ( г ) О 1 ( г 1 , г ¯ 1 ) О 2 ( г 2 , г ¯ 2 ) О 3 ( г 3 , г ¯ 3 ) ⟩ "=" ⟨ Т ( г ) ( С Т ( г 1 , г ¯ 1 , г 2 , г ¯ 2 , г 3 , г ¯ 3 ) Т ( г 1 ) + по убыванию ) ⟩ .
Если четырехточечная функция вообще отлична от нуля, то С Т . Теперь двухточечная функция | ⟨ Т ( г ) Т ( г 1 ) ⟩ | ∝ | г − г 1 | − 2 Δ Т . Вклады потомков падают быстрее, поскольку все они пропорциональны производным от ⟨ Т ( г ) Т ( г 1 ) ⟩ над г 1 .

Тензор энергии напряжения представляет собой квазипервичное поле размерности 2 (когда центральный заряд равен нулю). Это означает, что в расширении продукта оператора

Т ( г ) ф ( ж ) "=" час ( г − ж ) 2 ф ( ж ) + 1 г − ж ∂ ф ( ж ) + обычные сроки …
с ф ( ж ) являющееся конформным полем масштабной размерности час . Это связано с интегрированием по контуру и теоремой о вычетах, примененной к левой части вышеприведенного, при вычислении всех возможных вариаций (которые подчиняются конформной инвариантности).

Получение ожидаемых значений обеих сторон должно вернуть результаты. Для произведения более двух операторов просто примените правило более одного раза, с ф ( ж ) будучи новым Т ( г "=" г 0 ) Ψ ( ж ) . Другой ответ в том же духе можно найти здесь .

Этот аргумент не работает, поскольку вы даете расширение на короткие расстояния, которое сходится только тогда, когда Т ближе к ф чем ф относится к любому другому оператору (круг вокруг ф и через Т не должен содержать никаких других операций). В частности, «обычные термины» более значимы, поскольку г → ∞ чем условия, которые вы записали. Кроме того, ведущий член, когда г → ∞ на самом деле содержит информацию о полной четырехточечной функции, а не только о трехточечной функции, как следует из вашего рассуждения.
И, наконец, -- это не объясняет г − 4 поведение.
@PeterKravchuk «Этот аргумент не работает, поскольку вы даете расширение на короткие расстояния, которое сходится только тогда, когда T ближе к ϕ, чем ϕ к любому другому оператору». Я не понимаю, что это значит. Я беру продукт двух операторов и интегрирую их, вот и результат. «В частности, «регулярные члены» более значимы ...» ложно, потому что, поскольку они аналитические, контурный интеграл равен нулю из-за теоремы Коши.
"а не только трехточечную функцию, как следует из вашего рассуждения..." приведенный выше аргумент можно применить к любому произведению любого количества операторов, просто повторяя процедуру: вы ставите четыре, вы получаете четырехточечную функцию (после получения ожидаемого значения).
Вы пытаетесь использовать OPE. OPE сходится в CFT, но только при соблюдении определенных условий. Вы пишете OPE вокруг ж , он сходится тогда и только тогда, когда нет других операторов, вставленных ближе к ж чем г . Если в корреляторе не менее трех операторов (в случае ОП их четыре), то это заведомо ложно, так как г доводится до бесконечности. Контурные интегралы используются для получения ведущих членов в написанном вами ОРЕ, но само это ОРЕ не имеет значения.
Но даже если бы это сработало, принимая г → ∞ сократит записанные вами термины до нуля, а пропущенные вами термины будут неограниченно расти.
Без ограничения общности можно предположить, что всякий раз, когда берется произведение двух операторов, существует контур, не содержащий другого оператора, я не вижу в этом проблемы. Кроме того, я не понимаю, почему вы хотите взять г → ∞ : н -точечная функция сингулярна для г → ж и регулярный для любого из двух приближается к бесконечности. Остальные члены пропорциональны г уже интегрированы по теореме Коши, я не понимаю, как вы хотите восстановить их после интегрирования.
Я хочу взять г → ∞ потому что это то, о чем спрашивает ОП. Ни о какой контурной интеграции речи не идет. Он используется только для получения ведущих терминов в OPE в вашем ответе из тождеств Уорда. Регулярные члены отличны от нуля и вносят вклад в н -точечная функция, если вы используете свой OPE в регионе его применимости. На самом деле, это ОРЕ может быть использовано для записи полного н -точечная функция со вставкой тензора энергии напряжения через ( н − 1 ) -point функции, но вы не делаете этого в своем ответе, и это не сразу из вашего ответа.
Можете ли вы привести пример н -точечная функция с членами, которые являются правильными, т.е. они не фигурируют в знаменателе? Я думаю, что мы имеем в виду одно и то же, но я не уверен, что мы используем одну и ту же терминологию (что стремится к бесконечности, а что к нулю).
Брать ⟨ Т ( Икс ) Т ( у ) Т ( г ) ⟩ ∝ 1 ( Икс − у ) 2 ( Икс − г ) 2 ( у − г ) 2 . Если вы принимаете OPE между Икс и у вокруг говорят у и сохраняйте только единичные термины, вы получите сумму терминов, которые содержат только ( Икс − у ) и ( г − у ) но нет ( Икс − г ) . Есть вклады от бесконечного числа регулярных членов, которые после пересуммирования дают правильный результат. Вы также можете видеть, что Икс − г фактор имеет решающее значение для получения правильного поведения, поскольку Икс → ∞ . На самом деле, вычисление этого OPE эквивалентно расширению первой формулы в комментарии как функции от Икс вокруг Икс "=" у ...
... а единичные термины в ОРЕ дадут только кусок 1 ( Икс − у ) 2 ( Икс − г ) 2 ( у − г ) 2 ≃ 1 ( у − г ) 4 ( Икс − у ) 2 − 2 ( у − г ) 5 ( Икс − у ) + … . Очевидно, что в Икс − у . Из стандартного исчисления также очевидно, что полный ряд сходится, только если | Икс − у | < | у − г | , что нарушается при больших Икс .
Почему корреляционная функция тензора энергии-импульса обращается в нуль подобно z−4z−4z^{-4} в двумерной КТП?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v