Строгий аргумент прокачки Лафлина

Я решил проблему. Я подробно объясню, как существование оператора, сохраняющегося в результате адиабатической эволюции, позволяет нам понять аргумент спектрального потока. Начнем с задачи о частице на кольце. Здесь гамильтониан (для статического вносимого потока$\Phi$) является:

$$\mathcal{H} = \frac{\hbar^2}{2m r^2} \left( -i \frac{\partial}{\partial \phi} + \frac{\Phi}{\Phi_0} \right)^2$$

Мы всегда можем диагонализовать оба$p_{\phi}$и$\mathcal{H}$и получить полный базис собственного состояния для гильбертова пространства одиночной частицы на кольце. Собственное состояние в$\Phi = 0$являются$\lbrace e^{i m \phi} \rbrace$. с энергией$E_n = \frac{\hbar^2}{2m r^2} m^2$. Если мы введем зависящий от времени поток$\Phi (t)$мы получаем:

$$\mathcal{H} = \frac{\hbar^2}{2m r^2} \left( -i \frac{\partial}{\partial \phi} + \frac{\Phi (t)}{\Phi_0} \right)^{2}$$

Оператор импульса (с точностью до$\hbar$) является$p_{\phi} = - i \frac{\partial}{\partial \phi}$сохраняющееся при адиабатическом включении потока:$\left[ \mathcal{H}(t), \frac{\partial}{\partial \phi} \right] = 0$.

Если мы начнем эволюцию с собственного состояния${\psi (t = 0)}$сохраняющегося оператора:

$$p_{\phi} {\psi(t = 0)} = m {\psi(t = 0)}$$ адиабатическая эволюция$U(t)$сохраняет этот статус:

$$U(t) p_{\phi} U^{-1}(t) U(t) {\psi(t = 0)} = m U(t) {\psi(t = 0)}$$

$$p_{\phi} {\psi(t)} = m {\psi(t)}$$

Таким образом, даже если для$\frac{\Phi}{\Phi_0} = \frac{1}{2}$имеет место двойное вырождение, собственные состояния с разными$m$ценности не смешиваются. Другими словами, после адиабатического введения потока число$m$сохраняется, но энергия возрастает:$E_{n} = \frac{\hbar^2}{2m r^2} \left(m + 1 \right)^2$. В основном государство$\psi_{m}$переехал в$e^{-i \phi} {\psi_{m+1}}$, где калибровочное преобразование сделано явным.

Теперь мы видим аргумент Лафлина о накачке. Здесь импульс$p_{\phi}$сохраняется эволюцией, и действительно, в симметричной калибровке его собственное значение является квантовым числом, внутренним для каждого уровня Ландау. Мы начинаем с собственного состояния${\psi_m}$оператора импульса на нижнем уровне Ландау. Нет смешивания с более высокими уровнями Ландау, и конечное состояние должно иметь собственное значение.$m$. Спектр гамильтониана после вставки потока можно связать со спектром до вставки через калибровочное преобразование:$e^{-i\phi} \phi_{m}$. Собственный вектор с собственным значением$m$является$e^{-i\phi} \phi_{m+1}$так как экспоненциальный$e^{-i \phi}$уменьшить собственное значение на единицу. $r$зависимость$\phi_{m+1}$является$r^{m+1}$таким образом, состояние движется наружу после адиабатического внедрения, сохраняя при этом свое$\phi$зависимость.