Каково значение оператора магнитного переноса , используемого для описания дробного квантового эффекта Холла ? Я следил за лекционным видео Энтони Леггета, в котором он определяет эти операторы и описывает их коммутационное соотношение, чтобы найти вырождение основного состояния. Имеет ли оно какое-либо физическое значение как таковое или это просто математическая конструкция для доказательства результата о вырождении основного состояния?
Квантово-механическая модель, в которой операторы магнитного переноса являются наблюдаемыми, представляет собой заряженную частицу, движущуюся по двумерному тору на фоне однородного магнитного поля, перпендикулярного поверхности тора. См., например, следующую статью Э. Онофри.
Гамильтониан — это магнитный оператор Шредингера, а основное состояние — это нижний уровень Ландау. Полное решение показывает, что вырождение нижнего уровня Ландау равно магнитному потоку через площадь поверхности тора. Следовательно, магнитный поток должен быть квантован. Это условие квантования Дирака. (Есть много других способов доказать этот результат без необходимости полного решения, потому что условие квантования Дирака является частным случаем теоремы об индексе ).
За основу волновых функций низшего уровня Ландау можно взять тета- функции Якоби , где - комплексная координата на торе, пропорциональна отношению между образующими тора и принимает целочисленные значения между и магнитный заряд .
Основное отличие задачи Ландау в случае тора от плоскости состоит в том, что бесконечно малые операторы магнитного переноса ненаблюдаемы, поскольку их действие на волновые функции лежит за пределами нижнего уровня Ландау. Однако конечные переводы хорошо определены, если является -й корень из единицы.
Однако эту конкретную настройку вообще невозможно легко реализовать в лаборатории, потому что для этого потребуется суммарный магнитный заряд внутри тора, а свободные магнитные заряды до сих пор не были созданы.
Однако эту модель можно перевести в импульсное пространство. Здесь тор является зоной Бриллюэна прямоугольная решетка. Ограниченная динамика в одной полосе может быть описана эффективной теорией, в которой к гамильтониану добавляется член связи Берри. Таким образом, эта задача становится аналогичной движению по тору, но в импульсном пространстве. Здесь, в отличие от реального пространства, связи Берри имеют нетривиальные (фиктивные) магнитные заряды. Физические наблюдаемые в реальном пространстве имеют аналогичные наблюдаемые в импульсном пространстве. Холловская проводимость пропорциональна магнитному заряду кривизны Берри, поэтому условие квантования Дирака отвечает за квантование холловской проводимости.