Строгое математическое определение векторного оператора?

Так что есть естественный изоморфизм

$$\varphi: H^{\oplus 3} \to H \otimes \mathbb R^3\\ (a, b, c) \mapsto a \otimes e_0 + b \otimes e_1 + c \otimes e_2$$

где$e_i$является основой для$\mathbb R^3$. Определение, против которого вы возражаете,

$$\hat{\vec{x}}: H \to H^{\oplus 3}\\ v \mapsto (\hat x(v), ~ \hat y(v) , ~\hat z(v))$$

Вы можете преобразовать его в свою версию, составив с указанным выше изоморфизмом.

$$\tilde x \equiv \varphi \circ \hat{\vec{x}}:~~ H \to H \otimes \mathbb R^3\\ v \mapsto \hat x(v) \otimes e_0 + ~ \hat y(v) \otimes e_1 + ~\hat z(v)\otimes e_2$$

Так что ваше определение имеет смысл.

Комментарии

Итак, это отвечает на поставленный вопрос. Судя по вашим комментариям к другим ответам, я думаю, вы ищете более удобный способ формализовать раздражающее утверждение «бла-оператор преобразуется в бла-группу, как вектор». Дает ли это определение то, что вы хотите, должно быть предметом другого вопроса.

А именно, я думаю, вы надеетесь, что каким-то образом сопряжение представлением группы будет учитывать ваш тензорный продукт и иметь групповое действие на$\mathbb R^3$просто воздействуйте на второй фактор. Потратил пару минут, пытаясь наивно заставить это работать без особой удачи, обновит, если есть прогресс, или, по крайней мере, даст лучшее объяснение, почему нет.

Редактировать

Я собираюсь описать, как эта конструкция делает «ковариацию при сопряжении некоторым представлением некоторого действия на$\mathbb R^3$«Условие более явное, как и надеялся ОП.

Для ясности начнем с того, что дадим название операции сопряжения этого «векторного оператора».

Позволять$G$быть некоторой группой, допускающей действие на$\mathbb R^3$. Позволять$U: G \to H$быть унитарным представлением$G$на$H$. Определить для любого$R \in G$

$$\begin{align} C_R: \mathrm{Mor}(H, H^{\oplus 3}) &\to \mathrm{Mor}(H, H^{\oplus 3})\\ f(\cdot) &\mapsto (U(R) f(\cdot)^i U(R)^\dagger)_{i \in (0, 1, 2)} \end{align}$$

где$\mathrm{Mor}(V, W)$представляет собой набор линейных карт$V \to W$. Это просто название для покомпонентного сопряжения этого кортежа операторов.

Теперь основная претензия

Предложение Заявление

$$C_R(\hat{\vec{x}}) = \left(\sum_{j}R_{ij}\hat{\vec{x}}(v)^j\right)_{i \in (0, 1, 2)}$$

эквивалентно

$$\varphi \circ C_R(\hat{\vec{x}}) = (1 \otimes R)(\varphi \circ \hat{\vec{x}})$$

Доказательство. Для краткости приведем$\implies$направлении, другое направление должно быть очевидным из того же вычисления

$$\begin{align} \varphi\left(\left(\sum_{j}R_{ij}\hat{\vec{x}}(v)^j\right)_{i \in (0, 1, 2)}\right) &= \sum_i\left(\sum_{j} R_{ij} \hat{\vec{x}}(v)^j\right) \otimes e_i \\ &= \sum_{ij} \hat{\vec{x}}(v)^j \otimes R_{ij}e_i\\ &=\sum_{j} \left(\hat{\vec{x}}(v)^j \otimes \sum_i R_{ij}e_i\right)\\ &= (1 \otimes R)\left(\sum_{j} \hat{\vec{x}}^j(v) \otimes e_j \right)\\ &=(1 \otimes R)\left(\varphi(\hat{\vec{x}(v)}) \right) \end{align}$$

Да, существует строгое определение векторного оператора, но ваша интуиция неверна. Предположим, у нас есть векторный оператор$\hat{\vec{V}}$в трехмерном евклидовом пространстве. Наиболее разумное требование, которое мы могли бы предъявлять к векторному оператору, состоит в том, что математические ожидания векторных операторов (которые были бы вектором обычных чисел) должны преобразовываться как обычный вектор; то есть

$$\begin{equation} \langle\psi'|\hat{V}_i|\psi'\rangle=\sum_jR_{ij}\langle\psi|\hat{V}_j|\psi\rangle, \end{equation}$$ где $R$это вращение, которое отображает состояние $|\psi\rangle\rightarrow|\psi'\rangle$. Точнее $$\begin{equation} |\psi'\rangle =\hat{U}(R)|\psi\rangle, \end{equation}$$ где $\hat{U}(R)$— унитарный оператор, реализующий классический поворот $R$о состоянии $|\psi\rangle$(и может вращать как пространственные, так и спиновые степени свободы). Мы хотим, чтобы приведенное выше соотношение выполнялось для всех состояний. $|\psi\rangle$, из чего следует, что $$\begin{equation} \hat{U}(R)\hat{V}_i\hat{U}(R)^{\dagger}=\sum_j \hat{V}_j R_{ji} \end{equation}$$ Это точное определение векторного оператора. Это набор операторов, которые преобразуются как вектор при вращении. Действительно, позиционные операторы $\hat{\vec{x}}$образуют векторный оператор. Аналогичные определения справедливы для скалярных операторов, а также для более высоких тензорных операторов (известных как неприводимые тензорные операторы).

Однако, как указывали другие ответы, это не означает, что такие операторы отображают гильбертово пространство в какое-то расширенное пространство (как предполагает ваш вопрос). Это просто означает, что они прописали свойства трансформации при поворотах. Многое можно узнать, изучая эти свойства преобразования. Вы можете узнать больше о неприводимых тензорных операторах и одном из самых полезных связанных результатов, известном как теорема Вигнера-Экарта, прочитав эти конспекты лекций .

Нет. В трех измерениях есть три позиционных оператора,$\hat{x}_1$,$\hat{x}_2$, и$\hat{x}_3$, или, может быть$\hat{x}$,$\hat{y}$, и$\hat{z}$. Каждый из них является линейным оператором в первом правильном смысле. Каждое из них отображает состояния в гильбертовом пространстве на другие отображения в гильбертовом пространстве и ничего более.

Теперь три различных оператора положения на самом деле тесно связаны друг с другом, поэтому мы часто пишем$\hat{\vec{x}}$как сокращение для разговора обо всех них одновременно, но они по-прежнему являются тремя отдельными операторами, которые отображают$H\rightarrow H$.

Кроме того, когда у вас есть три связанных оператора положения, гильбертово пространство действительно несет дополнительную структуру по сравнению с тем, когда у вас есть только один оператор положения. В частности, гильбертово пространство становится$L_2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C})$, а не просто$L_2(\mathbb{R},\mathbb{C})$. Это большее гильбертово пространство. (По крайней мере, в определенном смысле. Вероятно, это не тот случай, когда$L_2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}) \simeq L_2(\mathbb{R},\mathbb{C})^{\otimes 3}$но начало нормальное)

В конечном счете, я думаю, что вы ищете особые отношения между$\hat{x}$,$\hat{y}$, и$\hat{z}$это оправдывает их объединение. Ответ - симметрия. Гильбертово пространство$H = L_2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C})$преобразуется при вращении физического пространства, представленного группой$SO(3)$. Эти вращения преобразуют состояния в$H$в другие штаты в$H$, а также преобразуют операторы на$H$в других операторов на$H$. Например, вращение может отображать$\hat{x}$оператор на$\hat{y}$и$\hat{y}$к$-\hat{x}$, что соответствует повороту вашей системы координат на 90 градусов.

Когда мы звоним$\vec{\hat{x}}$векторный оператор, мы на самом деле говорим, что три оператора превращаются друг в друга при поворотах таким образом. Но все еще есть три различных оператора, которые индивидуально отображаются из$H$к$H$!