Почему свойство «полного метрического пространства» гильбертовых пространств необходимо в квантовой механике?

Если бы у вас было только конечное число рациональных чисел, вы могли бы складывать их конечное число раз и умножать их конечное число раз и никогда не беспокоиться о том, будут ли$\pi$было рациональным числом. И, в частности, вам не придется беспокоиться о том, существует ли число, к которому сходится 3, 3.1, 3.14, ... и так далее.

Вы могли бы заниматься квантовой механикой таким же образом, если бы у вас когда-либо было конечное число векторов состояния, и вы просто брали их внутренние произведения, их суммы и их скалярные кратные, вам никогда не пришлось бы беспокоиться о полноте, потому что вы не беспокоился бы о том,$3|\Phi_0\rangle$,$3|\Phi_0\rangle+0.1|\Phi_1\rangle$,$3|\Phi_0\rangle+0.1|\Phi_1\rangle+0.04|\Phi_2\rangle$, ... сходится (где все$|\Phi_n\rangle$взаимно ортогональны).

Поэтому, если вы знаете, что собираетесь работать только с некоторыми конкретными решениями определенного уравнения, вам это абсолютно не нужно. И это охватывает многое. Если в каждом реалистичном эксперименте можно надежно различать только конечное число состояний, то для любой конкретной экспериментальной установки вы можете создать теорию, которая правильно и адекватно предсказывает вероятность каждого экспериментально наблюдаемого результата. Так вот полностью сколько не важно. Это имеет значение, если вы хотите рассказать о целой серии все более и более совершенных экспериментов, если вам приходится каждый раз делать новую теоретическую настройку, которая может раздражать, поэтому, если вы слышите, как математик говорит вам, что вы можете настроить одну систему и найти все ваши ответы там, привлекательность может быть очевидной, если вы доверяете математику.

Так не бывает исторически. Если предположить, что канонические коммутаторы$[x,p]=i\hbar$и рассмотрим исходную матричную механику Гейзенберга, требуется бесконечный базис, если вы хотите принять все обычные вещи. Но неразумно путать гипотезу, которую вы используете для создания экспериментальных прогнозов, и реальные инструменты, которые вы используете для реальных прогнозов. В первые дни вы пытаетесь узнать о новом способе ведения дел, который отличается от того, что вы делаете на самом деле.

Но нам не нужно какое-то состояние, к которому сходится целая куча различных экспериментальных установок. Если вы можете создать состояние в лаборатории или на природе, сделайте его одним из конечного множества. Если вы не можете этого сделать, будьте честны и поймите, что это в лучшем случае просто расчетное удобство, а не экспериментально реализованная установка, результат или процесс.

Математикам нравится полнота, и она может быть полезна для разговоров о квантовой механике, поэтому вам, вероятно, следует ее выучить. Пространства конечномерных внутренних продуктов уже завершены, поэтому вы не бегаете, используя неполные пространства.

Все пространства внутреннего произведения имеют метрику, определяемую скалярным произведением, она возникает только потому, что полнота является свойством метрики, т. е. является ли оно полным по отношению к этой метрике.

Полное пространство означает идею наличия одного и только одного представления для каждого вектора.$\mathbf{x}$пространства$\mathfrak{h}$, как$\mathbf{x} = \sum_i a_i \mathbf{e}_{i}$($i = 1, 2, ...$) с уникальными коэффициентами$a_i$и ортонормированные векторы$\mathbf{e}_i$в$\mathfrak{h}$. В квантовой механике$\mathbf{e}_i$часто будут собственными векторами некоторого самосопряженного оператора$\hat{T}$(с$\hat{T} e_i = q_i \mathbf{e}_i$) с собственными значениями$q_i$. В случае$\hat{T} = \hat{H}$(Оператор энергии = оператор Гамильтона) системы,$q_i$будут энергетическими уровнями системы.