Как применить выражение алгебраического оператора к кету, найденному в книге Дирака по QM?

Я пытался изучить квантовую механику с формальной точки зрения, поэтому взял книгу Дирака. В четвертом издании, 33-я страница, начиная с этого:

ξ | ξ ′ ⟩ "=" ξ ′ | ξ ′ ⟩
(Где ξ является линейным оператором, а все остальные ξ ′ являются собственными (значение | ket) s.)

,и это:

ф ( ξ ) "=" а 1 ξ н + а 2 ξ н − 1 ⋯ а н "=" 0
(где ф является алгебраическим выражением) Он вывел
ф ( ξ ) | ξ ′ ⟩ "=" ф ( ξ ′ ) | ξ ′ ⟩

Я понимаю, что левый оператор — это линейный оператор, действующий на кет, а правый — кет, умноженный на число.

Чего я не понимаю, так это того, как этот шаг оправдан. Кажется, он подал заявку ф в обе стороны. Но разве это не должно дать

ф ( ξ | ξ ′ ⟩ ) "=" ф ( ξ ′ | ξ ′ ⟩ )
?

Это выражение не имеет смысла само по себе, так как я сомневаюсь, что вы можете применить алгебраическое выражение к кету (я не уверен в этом, но мне, | А ⟩ 2 &c не имеет смысла, так как не думаю, что можно умножить кет на кет и получить еще кет)

Так как же он вывел выражение?

Контекст: Дирак доказывает, что собственное значение ξ ′ из ξ должен удовлетворить ф ( ξ ′ ) "=" 0 если ф ( ξ ) "=" 0 .

О (нет необходимости отвечать на этот вопрос, если вы не хотите), и есть ли какая-то причина, по которой Дирак ввел запутанную нотацию, согласно которой все собственные операторы должны обозначаться одним и тем же символом? Обычно разные типы переменных (например, матрицы, векторы, числа) используют разные классы символов (заглавные буквы, буквы с чертой сверху и строчные буквы соответственно).

Вы рассматривали возможность опечатки?
@AntillarMaximus это не опечатка, а просто запутанная запись, которая выглядит как onr

Ответы (4)

ξ | ξ ′ ⟩ "=" ξ ′ | ξ ′ ⟩
так
ξ 2 | ξ ′ ⟩ "=" ξ ′ 2 | ξ ′ ⟩
продолжая в том же духе, вы видите, что применяя любую силу ξ к | ξ ′ ⟩ просто умножает | ξ ′ ⟩ к ξ ′ к этой силе

Итак, любая сумма степеней ξ применительно к | ξ ′ ⟩ просто заканчивается умножением | ξ ′ ⟩ этим многочленом в ξ ′

Возможно, вас смущают обозначения. У вас есть оператор А и собственный вектор в с собственным значением λ . Если ф ( Икс ) "=" с н Икс н + с н − 1 Икс н − 1 + ⋯ + с 0 . Затем в является собственным вектором для оператора ф ( А ) с собственным значением ф ( λ ) .

Суть вопроса ОП (v1), по-видимому, заключается в следующем.

Что значит А ^ 2 | ψ ⟩ иметь в виду? Означает ли это, например, А ^ | ψ ⟩ ⊗ А ^ | ψ ⟩ ?

Ответ: Нет, определяется как А ^ ( А ^ | ψ ⟩ ) .

На самом деле я понял эту часть: с.
Ну, я все еще думаю, что это основная проблема. Остальное — просто манипуляции с собственными векторами, собственными значениями и т. д.
«Прямой» бит не так прост, когда вы новичок в этом деле =P. Один и тот же символ для собственного материала сочетается с тем фактом, что все эти переменные не имеют конкретного значения (я не дошел до этой части) или визуализации. Мне нравится рассматривать их как матрицы, но манипулирование ими все еще немного сбивает с толку.

Оператор ξ ^ действует на собственный вектор | ξ ′ ⟩ дать простое кратное, ξ ^ | ξ ′ ⟩ "=" ξ ′ | ξ ′ ⟩ . Следовательно, оператор ξ ^ 2 действует на один и тот же собственный вектор (от ξ ^ ) давать ξ ^ 2 | ξ ′ ⟩ "=" ξ ^ ξ ′ | ξ ′ ⟩ "=" ( ξ ′ ) 2 | ξ ′ ⟩ . Другими словами, | ξ ′ ⟩ является собственным вектором ξ ^ 2 с собственным значением ( ξ ′ ) 2 . Все полиномиальные функции одного оператора имеют один и тот же набор собственных векторов, причем собственные значения определяются тем, что это за функция, которую можно с ограничениями распространить на все функции.

Да, обозначение | ξ ′ ⟩ может быть проблематичным, но тщательные определения делают его управляемым.

Как применить выражение алгебраического оператора к кету, найденному в книге Дирака по QM?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v