Объединение двух одномерных гамильтонианов: как правильно построить новый гамильтониан?

Question

Объединение двух одномерных гамильтонианов: как правильно построить новый гамильтониан?

Ганс Вурст

Допустим, у меня есть два одномерных гильбертовых пространства. $\mathcal H_A, \mathcal H_B$ , например два одномерных гармонических осциллятора. Каждое пространство имеет ортонормированный базис $B_A=\{\phi^A_n \}, \ B_B=\{\phi^B_m \}, \ n,m\geq 0$ где каждая функция является собственной функцией соответствующего одномерного оператора Гамильтона. Теперь я хотел бы построить комбинированную систему без какой-либо связи. Насколько я понимаю, мы берем тензорное произведение обоих пространств, чтобы получить новое пространство $\mathcal H_c$ ,

{ЧАС}_{С} "=" {ЧАС}_{А} \otimes {ЧАС}_{Б}

$\mathcal H_C = \mathcal H_A\otimes \mathcal H_B$

Основой для нашего нового пространства является $B_C = \{\phi_n^A\otimes\phi_m^B \}$ такой, что

\begin{aligned} {\hat{ЧАС}}_{С} ф_{н м}^{С} & "=" Е_{н м} ф_{н м}^{С} \\ ({\hat{ЧАС}}_{А} \otimes \hat{1} + \hat{1} \otimes {\hat{ЧАС}}_{Б}) (ф_{н}^{А} \otimes ф_{м}^{Б}) & "=" (Е_{н}^{А} + Е_{м}^{Б}) ф_{н}^{А} \otimes ф_{м}^{Б} \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat H_C \phi^C_{nm} &= E_{nm}\phi^C_{nm} \\ (\hat H_A\otimes \hat 1 + \hat 1\otimes \hat H_B)(\phi_n^A\otimes\phi_m^B) &= (E^A_n+E_m^B)\phi_n^A\otimes\phi_m^B \\ \end{aligned}$

Чтобы все получилось так, нам нужно

{\hat{ЧАС}}_{С} "=" {\hat{ЧАС}}_{А} \otimes \hat{1} + \hat{1} \otimes {\hat{ЧАС}}_{Б}

$\hat H_C = \hat H_A\otimes \hat 1 + \hat 1\otimes \hat H_B$

Но мне априори не ясно, что так должно быть. Почему оператор не указан

{\hat{ЧАС}}_{С} "=" {\hat{ЧАС}}_{А} \otimes {\hat{ЧАС}}_{Б} ?

$\hat H_C = \hat H_A\otimes \hat H_B \quad ?$ Когда операторы в новом пространстве вида

{\hat{О}}_{А} \otimes \hat{1} + \hat{1} \otimes {\hat{О}}_{Б}

$\hat O_A\otimes \hat 1+ \hat 1\otimes \hat O_B$ и когда операторы принимают вид

{\hat{О}}_{А} \otimes {\hat{О}}_{Б} .

$\hat O_A\otimes \hat O_B.$ Например, оператор четности имеет такую форму. Есть ли простой способ узнать, как операторы «переводятся» в пространство продукта?

Ответы (1)

Объединение двух одномерных гамильтонианов: как правильно построить новый гамильтониан?

РастворимаяРыба · Answer 1

Первым ответом в случае гамильтониана является размерный анализ: $H_A\otimes H_B$ имеет размерность квадрата энергии, поэтому он не является хорошим кандидатом в гамильтониан.

Более глубокий ответ заключается в том, что унитарные операторы расширяются с использованием тензорного произведения, а эрмитовы операторы расширяются с использованием правила сумм (например, гамильтониана).

Например, оператор временной эволюции $U(t) = e^{-i\hat Ht /\hbar}$ решает уравнение Шрёдингера. Если вам дано два решения $|\psi_A(t)\rangle = U_A(t) |\psi_A(0)\rangle$ и $|\psi_B(t)\rangle= U_B(t) |\psi_B(0)\rangle$ , вы ожидаете (поскольку вы не вводите никакой связи между двумя подсистемами, что $|\psi_A(t)\rangle \otimes |\psi_B(t)\rangle$ является решением уравнения Шредингера для объединенной системы.

То есть :

U_{А Б} (т) "=" U_{А} (т) \otimes U_{Б} (т)

$U_{AB}(t) = U_A(t)\otimes U_B(t)$ С тех пор

i ℏ \frac{d}{d t} U (t) |_{t = 0} = H

$i\hbar\frac{d}{dt} U(t)|_{t=0} = H$ , взяв производную по времени в

t = 0

$t=0$ , Вы получаете :

{ЧАС}_{А Б} "=" {\hat{ЧАС}}_{А} \otimes я_{Б} + я_{А} \otimes {ЧАС}_{Б}

$H_{AB} = \hat H_A \otimes \mathbb I_B + \mathbb I_A \otimes H_B$

В более общем смысле операторы симметрии (например, переводы, повороты, четность и т. д.) будут расширяться с использованием тензорного произведения. Для непрерывных симметрий взятие производной будет означать, что генераторы (импульс, угловой момент, спин и т. Д.) Будут расширяться с использованием правила сумм.

Означает ли это, что операторы, соответствующие элементам группы Ли, переходят в тензорные произведения, а соответствующие эрмитовы операторы, основанные на элементах алгебры Ли, переходят в сумму операторов?
@HansWurst да. Собственные значения образующих аддитивны, а собственные функции мультипликативны.
@HansWurst В основном да. Чтобы быть немного более формальным, можно было бы говорить о представлениях групп Ли и алгебр Ли

Объединение двух одномерных гамильтонианов: как правильно построить новый гамильтониан?

Ганс Вурст

Ответы (1)

РастворимаяРыба

Ганс Вурст

ZeroTheHero

РастворимаяРыба

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Строгое математическое определение векторного оператора?

Обобщает ли квантовая механика понятие аффинного тензора?

Когда использовать сумму Кронекера против тензорного произведения гамильтонианов?

Может ли оператор Гамильтона действовать на бюстгальтер, если он когда-то действовал на кет?

Антиунитарный оператор и гамильтониан

Как оператор применяется к волновой функции в квантовой механике? [закрыто]

Гамильтонианы, операторы рождения/уничтожения, рекурсия

Тензорное произведение операторов в QM

Как показать, что собственные состояния гамильтониана можно сделать ортонормированными?