Для операторов с чисто точечными спектрами понятно, как посчитать количество состояний, соответствующих данному собственному значению — можно просто вычислить размерность собственных пространств. Мне интересно, как это сделать для непрерывных спектров. То, что я обычно видел в своих студенческих классах, — это классический прием помещения системы в искусственный ящик для квантования импульсов. В некотором смысле это гениальная идея, но она не очень элегантна и выглядит грязно. Но что самое худшее, в некоторых случаях он дает неверный ответ. Мне интересно, есть ли более строгий способ сделать это.
Для абсолютно непрерывной части спектра самосопряженного оператора , «плотность состояний» обеспечивается производной Радона-Никодима спектральной меры по мере Лебега, где есть ортогональная проекция на абсолютно непрерывное подпространство области определения . Эта формула хорошо определена именно благодаря определению абсолютно непрерывного спектра.
Я не уверен, что прекрасно понимаю ваш вопрос, но формально в каноническом ансамбле мы можем написать статистическую сумму как бы:
В этом контексте следует, что плотность состояния есть не что иное, как обратное преобразование Лапласа статистической суммы:
Это общее соотношение позволяет получить точные результаты о плотности состояний для конкретных модельных случаев. Недостатком, конечно, является то, что обратное преобразование Лапласа не так просто вычислить, как обратное преобразование Фурье.