Состав операторов сжатия?

Question

Состав операторов сжатия?

ФраШелле

Мне интересно, существует ли закон композиции для операции сжатия? Я так думаю по геометрическим причинам, так как они (обобщенные, и фаза раздражает, конечно) гиперболические вращения аннигиляции $a$ и создание $a^{\dagger}$ операторы некоторых бозонных мод.

Я определяю сжимающий оператор как

С (ζ) "=" е^{Σ}; Σ "=" \frac{ζ^{*} а а - ζ а^{†} а^{†}}{2}

$S\left(\zeta\right) = e^{\Sigma} \;\; ; \;\; \Sigma = \frac{\zeta^{\ast} aa -\zeta a^{\dagger}a^{\dagger}}{2}$ для любого комплексного параметра

ζ

$\zeta$ .

хотелось бы узнать правило $S\left(\zeta_{1}\right)\cdot S\left(\zeta_{2}\right)$ ?

Например, мы знаем, что

Д (α) \cdot Д (β) "=" Д (α + β) е^{(α β^{*} - β α^{*}) / 2}

$D\left(\alpha\right)\cdot D\left(\beta\right)=D\left(\alpha + \beta\right) e^{\left(\alpha \beta^{\ast}-\beta\alpha^{\ast} \right)/2}$ для когерентного оператора / оператора смещения

D (α) = e^{Δ}

$D\left(\alpha\right)=e^{\Delta}$ с

Δ = α^{*} a - α a^{†}

$\Delta = \alpha^{\ast} a - \alpha a^{\dagger}$ .

Ссылка для $S\left(\zeta_{1}\right)\cdot S\left(\zeta_{2}\right)$ было бы достаточно.

Ответы (2)

Состав операторов сжатия?

Qмеханик · Answer 1

I) OP запрашивает формулу композиции для так называемых одномодовых операторов сжатия , см. ур. (8) ниже. Мы не будем здесь доказывать формулу композиции (8), а лишь дадим частичные намеки и ссылки.

Главное понять, что можно определить

\begin{matrix} (1) & о_{+} "=" - \frac{1}{2} а^{†} а^{†}, о_{-} "=" \frac{1}{2} а а, о_{3} "=" а^{†} а + \frac{1}{2}, \end{matrix}

$\sigma_{+}~:=~-\frac{1}{2} a^{\dagger}a^{\dagger}, \qquad \sigma_{-}~:=~\frac{1}{2} aa, \qquad\sigma_{3}~:=~a^{\dagger}a+\frac{1}{2} ,\tag{1}$

с генераторами $su(1,1)\cong so(2,1; \mathbb{R})\cong sl(2,\mathbb{R})$ Алгебра Ли

\begin{matrix} (2) & [о_{+}, о_{-}] "=" о_{3}, [о_{3}, о_{\pm}] "=" \pm 2 о_{\pm} . \end{matrix}

$[\sigma_{+},\sigma_{-}]~=~\sigma_{3} , \qquad [\sigma_{3},\sigma_{\pm}]~=~\pm2 \sigma_{\pm}. \tag{2}$

Здесь одномодовые операторы рождения и уничтожения удовлетворяют

\begin{matrix} (3) & [а, а^{†}] "=" 1. \end{matrix}

$[a,a^{\dagger}]~=~1.\tag{3}$

Сжимающий оператор

\begin{matrix} (4) & С (г) "=" опыт Σ (г), Σ (г) "=" г о_{+} + г^{*} о_{-}, г е С, \end{matrix}

$S(z)~:=~\exp\Sigma(z),\qquad \Sigma(z)~:=~z\sigma_{+} + z^{\ast} \sigma_{-}, \qquad z~\in~ \mathbb{C},\tag{4}$

может быть записан в нормально упорядоченной форме

\begin{matrix} (5) & С (г) "=" опыт (т о_{+}) опыт (п (1 - | т |^{2}) \frac{о_{3}}{2}) опыт (т^{*} о_{-}), \end{matrix}

$S(z)~=~\exp\left(t\sigma_{+}\right)\exp\left(\ln(1-|t|^2)\frac{\sigma_{3}}{2}\right)\exp\left(t^{\ast}\sigma_{-}\right),\tag{5}$

ср. например, ссылка 1 экв. (1.207) или Ref. 2 экв. (2.16) и (3.4). Здесь

\begin{matrix} (6) & г "=" р е^{я θ} е С, р \geq 0, θ е р, \end{matrix}

$z~=~re^{i\theta}~\in~ \mathbb{C}, \qquad r~\geq~ 0, \qquad\theta~\in~ \mathbb{R},\tag{6}$

и

\begin{matrix} (7) & т "=" е^{я θ} танх (р) е С . \end{matrix}

$t~:=~e^{i\theta}\tanh(r)~\in~ \mathbb{C}.\tag{7}$

Формула состава гласит

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} С (г_{1}) С (г_{2}) "=" & С (г_{3}) опыт (п \frac{1 + т_{1} т_{2}^{*}}{1 + т_{1}^{*} т_{2}} \frac{о_{3}}{2}), \\ т_{3} "=" & \frac{т_{1} + т_{2}}{1 + т_{1}^{*} т_{2}}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} S(z_1) S(z_2)~=~&S(z_3)\exp\left( \ln\frac{1+t_1 t_2^{\ast}}{1+t_1^{\ast}t_2} \frac{\sigma_{3}}{2}\right), \cr t_3~:=~&\frac{t_1+t_2}{1+t_1^{\ast}t_2}, \end{align}\tag{8}$

ср. например, ссылка 2 Упражнение 3.8.

II) Сжимающие операторы (4) можно рассматривать как элементы $SL(2,\mathbb{C})$ . Мы можем использовать экспоненциальную карту

\begin{matrix} (9) & опыт : с л (2, С) ⟶ С л (2, С) \end{matrix}

$\tag{9}\exp: sl(2,\mathbb{C}) ~\longrightarrow~ SL(2,\mathbb{C})$

к обобщенным на операторы вида

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} Икс (\vec{α}) "=" & опыт (\vec{α} \cdot \vec{о}) "=" опыт (α^{+} о_{+} + α^{3} о_{3} + α^{-} о_{-}), \\ \vec{α} "=" & (α^{+}, α^{3}, α^{-}) е С^{3} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} X(\vec{\alpha}) ~:=~&\exp\left( \vec{\alpha} \cdot \vec{\sigma} \right)~=~\exp\left( \alpha^{+} \sigma_{+}+\alpha^{3} \sigma_{3}+ \alpha^{-} \sigma_{-}\right),\cr \vec{\alpha}~=~&(\alpha^{+},\alpha^{3}, \alpha^{-})\in \mathbb{C}^3. \end{align}\tag{10}$

Формула состава (8) обобщается до формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа (БХХ)

\begin{matrix} (11) & \vec{γ} "=" \vec{ф} (\vec{α}, \vec{β}), \end{matrix}

$\vec{\gamma}~=~ \vec{f}(\vec{\alpha},\vec{\beta}), \tag{11}$

где

\begin{matrix} (12) & Икс (\vec{α}) Икс (\vec{β}) "=" Икс (\vec{γ}) . \end{matrix}

$X(\vec{\alpha}) X(\vec{\beta}) ~=~X(\vec{\gamma}). \tag{12}$

[См. также этот пост Phys.SE для получения соответствующей формулы BCH для $SU(2)$ и $SO(3;\mathbb{R})$ .] Обратите внимание, однако, что экспоненциальное отображение (9) не является сюръективным

\begin{matrix} (13) & я м (опыт) "=" {М е С л (2, С) ∣ Т р (М) \neq - 2} \cup {- 1} ⊊ С л (2, С), \end{matrix}

${\rm Im}(\exp) ~=~\left\{M\in SL(2,\mathbb{C}) \mid {\rm Tr}(M)\neq -2\right\} ~\cup~ \left\{-{\bf 1}\right\} \subsetneq SL(2,\mathbb{C}), \tag{13}$

это означает, что отображение БЧХ (12) имеет особенности.

Использованная литература:

П. Кок и Б. В. Ловетт, Введение в оптическую квантовую обработку информации, 2010 г.
GS Agarwal, Quantum Optics, 2012. [Обратите внимание, что Ref. 2 имеет противоположное соглашение о знаках $z\to -z$ в уравнении (4), см. ссылку. 2. ур. (2.14) и (3.2).]
DR Truax, отношения Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа и унитарность $SU(2)$ и $SU(1,1)$ операторы сжатия, Phys. Ред. D31 (1985) 1988 г. .
Фишер Р.А., Нието М.М., Сандберг В.Д., Невозможность наивного обобщения сжатых когерентных состояний, Phys. ред. D29 (1984) 1107 ; раздел III. (Совет: Космас Захос .)

Примечания на потом: $\quad\Sigma(z) \sim\begin{pmatrix}0&z\cr z^{\ast}&0\end{pmatrix}$ ; $\quad\Sigma(z)^2\sim r^2$ ; $\quad S(z) =\exp\Sigma(z) =\cosh\Sigma(z) +\sinh\Sigma(z)$ $\sim\cosh(r) +{\rm sinhc}(r)~\Sigma(z) =\cosh(r) +\sinh(r)~\Sigma(e^{i\theta})=\begin{pmatrix}c&s\cr s^{\ast}&c\end{pmatrix}$ ; $\quad\exp\left(t\sigma_{+}\right)\sim 1+t\sigma_{+}$ ; $\quad\exp\left(\nu\sigma_{3}\right) \sim \cosh(\nu)+\sinh(\nu)~\sigma_{3}=\begin{pmatrix}e^{\nu}&0\cr 0&e^{-\nu}\end{pmatrix}$ ; $\quad\exp\left(t^{\ast}\sigma_{-}\right) \sim 1+t^{\ast}\sigma_{-}$ ;
$\quad\exp\left(t\sigma_{+}\right) \exp\left(\nu \sigma_{3}\right)\exp\left(t^{\ast}\sigma_{-}\right)$ $\sim e^{-\nu}\left(t\sigma_{+} +t^{\ast}\sigma_{-} +|t|^2\begin{pmatrix}1&0\cr 0&0\end{pmatrix}\right)+\exp\left(\nu \sigma_{3}\right)=\begin{pmatrix}e^{\nu}+|t|^2e^{-\nu}&te^{-\nu}\cr t^{\ast}e^{-\nu}& e^{-\nu}\end{pmatrix}$ ; $\quad 1-|t|^2 =e^{2\nu} =1/\cosh^2r$ ;
$\quad \exp\begin{pmatrix}a&b\cr c&-a\end{pmatrix}=\cosh d +\begin{pmatrix}a&b\cr c&-a\end{pmatrix} {\rm sinhc}d$ ; $\quad d:=\sqrt{a^2+bc}$ ; $\quad e^{-\nu}=\cosh d -a{\rm sinhc}d$ ; $\quad S(z_1)S(z_2)\sim \begin{pmatrix}c_1&s_1\cr s_1^{\ast}&c_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_2&s_2\cr s_2^{\ast}&c_2\end{pmatrix}$ ; $\quad S(z_1)\exp\left(\nu\sigma_{3}\right) \sim \begin{pmatrix}c_3&s_3\cr s_3^{\ast}&c_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{\nu}&0\cr 0&e^{-\nu}\end{pmatrix}$ ; Приводит к 4 экв.
$\quad X(\vec{\alpha}) := \exp\left(\vec{\alpha}\cdot\vec{\sigma} \right)$ ; $\quad \vec{\alpha} \cdot \vec{\sigma} = \alpha^{+} \sigma_{+}+\alpha^{3} \sigma_{3}+ \alpha^{-} \sigma_{-}$ ; $\quad \sigma_{\pm} = \frac{\sigma_{1} \pm i \sigma_{2}}{2}$ ; $\quad \alpha^{\pm} = \alpha^{1} \mp i \alpha^{2}$ ; $\quad g_{ij} = {\rm tr}(\sigma_{i}\sigma_{j})$ ; $\quad \sigma_{i}\sigma_{j} = g_{ij}{\bf 1}_{2\times 2} + i\epsilon_{ijk}g^{k\ell}\sigma_{\ell}$ ; $\quad \epsilon_{ijk}=\sqrt{|g|}[i,j,k]$ ;
$\quad\exp\left(\alpha^{3}\sigma_{3}\right) f\left(\alpha^{\pm} \sigma_{\pm}\right) \exp\left(-\alpha^{3}\sigma_{3}\right) =f\left(e^{\pm2\alpha^{3}} \alpha^{\pm} \sigma_{\pm}\right)$ ; $\quad\exp\left(\alpha^{\pm}\sigma_{\pm}+\alpha^{3}\sigma_{3}\right) = \exp\left(E(\pm2\alpha^{3})\alpha^{\pm} \sigma_{\pm}\right)\exp\left(\alpha^{3}\sigma_{3}\right)$ ; $\quad\exp\left(\alpha^{\pm} \sigma_{\pm}\right)\exp\left(\alpha^{3}\sigma_{3}\right) =\exp\left(B(\pm2\alpha^{3})\alpha^{\pm} \sigma_{\pm}+\alpha^{3}\sigma_{3}\right)$ ;

Тримок · Answer 2

У вас не будет легко получить замкнутую общую формулу, потому что, во-первых, коммутатор $aa$ и $a^+a^+$ , так $4(a^+a + 1/2)$ не ездит с $aa$ и $a^+a^+$ , а во-вторых, хуже, потому что то же самое происходит для всех коммутаторов высокого порядка отношений Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа (см. подробнее главу «Формула Цассенхауза»)

Он работает с $D\left(\alpha\right)$ потому что коммутатор $a$ и $a^+$ является $1$ , так что конечно у вас есть $[a, 1] = [a^+, 1] = 0$ , а бесконечный ряд терминов начинается с короткого конечного списка (с $X \sim~ a, Y ~ \sim a^+$ ):

е^{Икс} е^{Д} "=" е^{Икс + Д} е^{\frac{1}{2} [Икс, Д]}

$e^X e^Y = e^{X + Y}e^{\frac{1}{2}[X,Y]}$

Возможно, вы могли бы сначала вычислить значение вашего оператора в основном состоянии, то есть:

< 0 | С (ζ_{1}) \cdot С (ζ_{2}) | 0 >

$<0|S\left(\zeta_{1}\right)\cdot S\left(\zeta_{2}\right)|0>$

Спасибо за Ваш ответ. Именно потому, что меня не интересует ожидаемое значение основного состояния, я задавал этот вопрос. Даже действуя на основное состояние, состояние сжатия не имеет табличного выражения: насколько мне известно, это просто сумма четных степеней расширения экспоненциального аргумента. Еще раз спасибо.

Состав операторов сжатия?

ФраШелле

Ответы (2)

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Тримок

ФраШелле

Вывод гамильтониана одиночного тела в КТП

Являются ли эти две разные формы оператора сжатия эквивалентными?

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Как именно определяется «нормальный порядок оператора»?

Операторы создания и уничтожения

Как некоммутативность наблюдаемых приводит к квантовому ускорению решения алгоритмов квантовых вычислений?

Операторы проекции в пространстве прямого произведения

Операторы - как мотивировать, они должны быть линейными? Является ли этот комментарий подсказкой? [дубликат]

Как проверить неотрицательность матрицы плотности?

Почему квантовые логические вентили должны быть линейными операторами?