Как выводится уравнение Липпмана-Швингера?

Я хотел бы знать вывод уравнения Липпмана-Швингера (LSE) в операторном формализме и на каких предположениях он основан. Я сверился с книгой Ballentine , как советовали в этом посте Phys.SE , но я все еще не понимаю ее.

В нем говорится, что если LSE выполняется:

(1) | ψ ⟩ "=" | ф ⟩ + г 0 ( Е + ) В | ψ ⟩

затем ЧАС | ψ ⟩ "=" Е | ψ ⟩ или альтернативно

(2) В | ψ ⟩ "=" ( Е − ЧАС 0 ) | ψ ⟩

Здесь ЧАС 0 | ф ⟩ "=" Е | ф ⟩ и г 0 ( Е + ) означает предел г 0 ( Е + я η ) как η → 0 .

Теперь легко убедиться, что ( 1 ) ⇒ ( 2 ) . Но, как говорится в книге, ( 1 ) содержит больше информации, и я думаю, что ( 2 ) ⇏ ( 1 ) . Так как же на самом деле происходит LSE? Если рассматривать проблему ( 2 ) тогда очевидно | ψ ⟩ "=" г 0 ( Е + ) В | ψ ⟩ также является решением. Зачем нам нужно | ф ⟩ ?

И наконец, как | ψ ⟩ определенный? Если он определяется ( 2 ) тогда почему он имеет те же собственные значения, что и | ф ⟩ имеет для ЧАС 0 ? Почему вообще верно, что спектральная задача ( 2 ) есть решение?

Ответы (1)

В большинстве случаев задача ( упругого ) рассеяния может быть сведена к:

  • Приходящая начальная волна/квантовое состояние | ф ⟩ , который большую часть времени считается плоской волной / свободным состоянием | к ⟩ собственное состояние свободного гамильтониана:

    ЧАС ^ 0 | ф ⟩ "=" Е | ф ⟩ с ЧАС ^ 0 "=" − Δ 2

  • Рассеивающий потенциал В ^ ( Икс ^ ) , который априори может быть любым (сферически-симметричным, неупорядоченным и т. д.).

Очевидно, в таком случае | ф ⟩ больше не является собственным состоянием полного гамильтониана:

ЧАС ^ "=" ЧАС ^ 0 + В ^

Конечно, вы хотите найти такое собственное состояние, которое вы отметили | ψ ⟩ , так что :

ЧАС ^ | ψ ⟩ "=" Е | ψ ⟩ то есть ( Е − ЧАС ^ 0 ) | ψ ⟩ "=" В ^ | ψ ⟩
Такое уравнение есть не что иное, как дифференциальное уравнение. Чтобы ее решить, нужно сначала найти однородное решение, т.е. без второго члена В ^ | ψ ⟩ . Легко видеть, что однородное решение | ψ ⟩ час является | ф ⟩ .

Частное решение | ψ ⟩ п можно найти, немного поиграв с формулами. По определению свободной (запаздывающей) функции Грина

г ^ 0 ( ϵ ) "=" 1 ϵ − ЧАС ^ 0 + я η
у вас есть :
лим η → 0 г ^ 0 − 1 ( ϵ ) "=" Е − ЧАС ^ 0 "=" г ^ 0 − 1 ( Е ) с Е "=" лим η → 0 ϵ + я η
Затем следует
г ^ 0 − 1 ( Е ) | ψ ⟩ "=" В ^ | ψ ⟩ то есть | ψ ⟩ "=" г ^ 0 ( Е ) В ^ | ψ ⟩ "=" | ψ ⟩ п

Как всегда, общее решение дифференциального уравнения есть сумма однородного и частного решений:

| ψ ⟩ "=" | ψ ⟩ час + | ψ ⟩ п "=" | ф ⟩ + г ^ 0 ( Е ) В ^ | ψ ⟩
которое представляет собой так называемое уравнение Липпмана-Швингера.

Так почему же | ψ ⟩ и | ф ⟩ имеют одинаковые собственные энергии Е ?
Поскольку такой вывод справедлив только для упругого рассеяния, т. е. энергия Е сохраняется на протяжении всего процесса.
@dolun: Отличный ответ. Но если сравнить ( Е − ЧАС 0 ) | ψ ⟩ "=" В | ψ ⟩ в позиционном пространстве в виде неоднородного ОДУ, то они фактически не совпадают.
Как выводится уравнение Липпмана-Швингера?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v