Теорема Хаага и практические вычисления КТП

каждая теорема настолько сильна, насколько сильны ее предположения (и предложения). Ответы ясно, что

1. Формула LSZ всегда работает для теорий поля, в которых она используется.
2. Ни один фактический расчет, относящийся к физике, не терпит неудачу из-за теоремы Хаага. Теорема Хаага — это всего лишь философия.

Теорема Хаага морально ошибочна, потому что она изучает вопрос, являются ли операторы в взаимодействующей теории «строго» унитарно эквивалентными операторам в свободной теории:

В частности, добавление взаимодействий изменяет и коммутационные соотношения между полями, которые «непосредственно» создают и уничтожают частицы, — по крайней мере, низкоэнергетическими эффективными полями. Например, квантовые эффекты производят эффективные лагранжианы, которые содержат члены с более высокими производными, включая новые члены с производными по времени, и последние изменяют канонические импульсы и/или канонические коммутационные соотношения. Когда кто-то строг, многое меняется, когда добавляются взаимодействия. Хааг только предположил, что «некоторые» вещи меняются, поэтому его результаты не имеют значения для физики.

В любом случае, эта теорема 1955 года устарела, как и большая часть прежней дисциплины, которая раньше была известна как алгебраическая квантовая теория поля или аксиоматическая теория поля. как их определить - и в равной степени верно, что пертурбативное приближение всех физических амплитуд может быть рассчитано обычными пертурбативными методами, с дополнительной философией и строгими уточнениями, заданными, например, формализмом LSZ, который вы упомянули.

Теорема Хаага была изобретена как попытка показать, что что-то не так с одной из первых понятных людям петлевых диаграмм — графом поляризации вакуума. Мистеру Хаагу они не нравились. Однако нет ничего плохого в петлевой диаграмме — или любых других петлевых диаграммах, которые в последующие десятилетия стали основой знаний о физике элементарных частиц. Развитие перенормировки показало, что вычисления, включая циклы, полностью корректны. Ренормализационная группа добилась дальнейшего прогресса — она объяснила, почему теории универсальны и почему работает вычитание бесконечностей. Теорема Хаага стала вводящей в заблуждение и устарела в 1970-х годах.

В частности, формализм LSZ использует «адиабатическую гипотезу», предположение о том, что взаимодействиями между частицами в асимптотически далеком прошлом можно пренебречь. Медленно и непрерывно включая константу связи, мы можем преобразовать состояния свободных частиц в состояния, описывающие частицы во взаимодействующем гильбертовом пространстве. Это возможно, пока все расстояния между частицами велики. Однако эта процедура не будет работать для общих конфигураций близких частиц, так что нельзя продвигать этот трюк в полноценную «каноническую» унитарную эквивалентность между свободным и взаимодействующим гильбертовым пространством. Ясно, что такого «естественного», «единственного» или «канонического» изоморфизма не существует, поскольку свободные и взаимодействующие теории физически неэквивалентны. При рациональном понимании теорема Хаага не говорит ничего, кроме этого самоочевидного утверждения. Однако такой изоморфизм не нужен для вычисления физически значимых величин, таких как амплитуды рассеяния.

По крайней мере, с точки зрения физики как эмпирической науки должно быть ясно, что фактические расчеты в КТП — это хорошая наука — та, которая сделала предсказания и прошла тесты, сравнивающие предсказания с экспериментами, — в то время как теорема Хаага не является таковой, потому что она не не предсказал ничего, что прошло эмпирические проверки. Теорема Хаага пытается найти проблемы, связанные с тем фактом, что квантовая теория поля содержит новые эффекты, такие как перенормировка, которых нет в квантовой механике с конечным числом степеней свободы. Однако эти дополнительные эффекты квантовой теории поля реальны и существенны и не приводят к противоречиям.

Теорема Хаага — это не инструмент для изучения физики элементарных частиц; это оправдание для тех, кто не хочет изучать физику элементарных частиц. Как и любая теорема, она гласит: «А подразумевает Б». Поскольку мы знаем, что B неверно — пертурбативная КТП явно работает, — отсюда следует, что предположения A неверны.

Комментарий к тому, что написал Любош (казалось бы, мне нужно больше репутации, чтобы оставлять комментарии :-)

Есть еще люди, которые живут и проводят исследования в АКФТ, так что, возможно, АКФТ устарела для некоторых из нас, но она не умерла.

У нас до сих пор нет полного математически строгого понимания КТП. Но всем позволено игнорировать это, конечно, и использовать вычислительные инструменты КТП, доказавшие свою ценность. Теорема Хаага говорит нам, что мы просто не знаем, почему вычислительные инструменты пертурбативной КТП работают так хорошо, но что касается конкретных вычислений, пока вы получаете правильные числа, это не должно вас беспокоить. Поэтому вы не найдете расчетов, которые не сработали бы из-за теоремы Хаага.

Однако любая строгая конструкция взаимодействующей 4D КТП должна будет так или иначе избегать теоремы Хаага. Но если попытка провести исследование в этом направлении стоит затраченных усилий, это, конечно, вопрос усмотрения.

Многое было сказано… но я думаю, что есть щель, в которую я могу ткнуть.

использованная литература

Во-первых, позвольте мне перечислить несколько соответствующих ссылок на эту тему: таким образом, мы можем установить основу для обсуждения и договориться о некой «общей теме знаний» (я понимаю, что могут быть разногласия и разногласия по данному выбору). ниже, но я считаю, что историческая значимость работ очевидна — этот список ни в коем случае не является исчерпывающим, и я не имею в виду неуважение к работам, которые я, возможно, забыл перечислить). Там идет,

1. ПКТ, спин и статистика и все такое ;
2. Локальная квантовая физика: поля, частицы, алгебры (теоретическая и математическая физика) ;
3. Математическая теория квантовых полей (Международная серия монографий по физике) ;
4. конечная квантовая электродинамика ;
5. Пертурбативная квантовая электродинамика и аксиоматическая теория поля (теоретическая и математическая физика) ;
6. Квантовая теория поля I: Основы математики и физики: мост между математиками и физиками (т. 1) и Квантовая теория поля II: Квантовая электродинамика: мост между математиками и физиками ;
7. Квантовая теория поля (Математические обзоры и монографии) ;
8. Математические аспекты квантовой теории поля (Кембриджские исследования высшей математики) ;
9. Квантовая теория поля для математиков (Энциклопедия математики и ее приложений) ;
10. Математическая теория интегралов Фейнмана по путям: введение (конспект лекций по математике) и исчисление белого шума и пространство Фока (конспект лекций по математике) .

Комментарии

Не говоря уже об этом, позвольте мне сделать несколько комментариев. Если повезет, я не буду слишком сильно отклоняться до точки потери исходного пути…

1. Исторически существовало два движения с разными названиями: аксиоматическая (или алгебраическая ) квантовая теория поля и конструктивная квантовая теория поля. В то время как первое отмечено ссылкой (1) выше, второе кратко изложено в книге «Квантовая физика: функциональная интегральная точка зрения».. Оба они столкнулись с одинаковыми препятствиями в свое время: первое воплощение аксиом Вайтмана не допускало [спонтанного] нарушения симметрии (факт, позже исправленный Рэем Стритером); в то время как книга Глимма и Джаффе по-прежнему настаивает на том, что интеграл по траекториям [Фейнмана] связан с уникальной квантовой теорией (что, как мы знаем, не соответствует действительности, исходя из зависимости интеграла по траекториям от его параметров (также известных как константы связи): разные наборы параметров дают различные QFT). Собственно, именно по этой причине я не смешивал эти темы (алгебраические и конструктивные КТП) в приведенном выше списке ссылок.

2. Теорема Хаага (а также теорема Хаага-Кастлера) исторически относится к области алгебраической/аксиоматической КТП . Но позже, с дальнейшими разработками под руководством Хаага и его последователей , эта область естественным образом превратилась в то, что в настоящее время известно как локальная квантовая физика .

3. Есть способы строго определить евклидовы КТП в решетке, а затем взять ее континуальный (термодинамический) предел. Но, конечно, я не могу вспомнить (или найти в своих архивах) ссылку. IIRC, это была группа из Бостонского университета… но, что более важно, я знаю, кто сможет это запомнить: Педро (lqpman ;-). Во всяком случае, у Б. Саймона куча работ в этой области (а именно$P(\phi)_2$евклидова КТП и ее связь со статистической механикой), и нетрудно убедиться в том, что строгие КТП могут быть определены соответствующим образом (различными способами, с использованием различных методов).

4. Есть несколько способов представить КТП (или Калибровочную теорию, как вам угодно) и, соответственно, сформулировать ее различными строгими способами. Позвольте мне представить один, который я считаю несколько интуитивным и более простым. В каждом отдельном «реальном сценарии жизни» у вас есть максимально доступная энергия, т. е. УФ-отсечка (назовем это$\Lambda$). С этой простой реализацией вы можете начать конструировать свои ингредиенты более строго: поместите свою QFT в решетку, где расстояние определяется формулой$a = 1/\Lambda$. Я говорю о том, что в «реальной жизни» мы всегда имеем дело с теорией эффективного поля той или иной формы — и это не так уж плохо, поскольку мы можем использовать ее УФ-шкалу для построения решетки, где мы собираемся определить нашу теорию. Это один из способов сделать это… другой способ — использовать эту реализацию UV-обрезания, но вместо того, чтобы использовать ее для определения решетчатой ​​КТП, мы можем использовать ее для определения алгебры вершинных операторов . Суть в обоих случаях заключается в том, что мы имеем дело с проблемой умножения распределений (также известных как обобщенные функции), определяя некоторую форму OPE .: что делают решетки и VOA, так это определяют конкретное «точечное расщепление», которое «нравится» вашей теории (т. е. делает вашу теорию «хорошей»). Итак, то, что вы эффективно делаете (простите за каламбур), определяете свою QFT через конкретный выбор «точечного разделения» (OPE), будь то с помощью решетки, будь то через VOA. В конце концов, однако, имеет значение то, что вы каким-то образом «дискретизировали» свою теорию… и поэтому вы можете иметь с ней дело и обойти теорему Хаага (которая действительна только в термодинамическом/континуальном пределе). Это то, что находится за кулисами.

5. В некотором смысле такое же обсуждение можно было бы провести в отношении моделей статистической механики, например, модели Поттса, которая полностью определяется своей матрицей переноса (аналогично$S$Матрица в КТП). Однако, когда вы пытаетесь взять этот континуум/термодинамический предел… все очень быстро усложняется. Конечно, это «технический» момент, «математическая деталь» и т. д. и т. п.… но, я думал, в этом весь смысл этого вопроса… если я ошибаюсь, во что бы то ни стало, не обращайте внимания на эти мои придирчивые пункты. В любом случае, именно из-за этого ограничения бесконечных степеней свободы КТП представляет собой нечто большее, чем просто «теория S-матрицы» или наивное расширение квантовой механики: как говорится, чем больше , тем лучше . ;-)

Как бы то ни было, это затягивается и становится поздно (т. е. я проголодался ;-)… и моя цель состояла не в том, чтобы дать схоластический ответ, а в том, чтобы направить дискуссию в нужное русло. Надеюсь, это немного поможет.

Первоначальные два вопроса заслуживают коротких четких ответов. В обратном порядке:

2) «Пример вычисления, которое не удается из-за теоремы Хаага». Наивная теория возмущений должна потерпеть неудачу из-за теоремы Хаага. И это так: когда вы вычисляете коэффициенты, они в основном бесконечны.

1) «Почему вычисления КТП работают, несмотря на теорему Хаага?» Потому что реальные вычисления QFT не выполняются в картине взаимодействия . Решеточная КТП, как уже отмечалось, вообще не использует картину взаимодействия. Точно так же формализм LSZ не использует картину взаимодействия. Единственное, для чего используется картина взаимодействия, — это обоснование анзаца для перенормированного ряда возмущений. Но когда вы переключаетесь на перенормированную теорию возмущений, вы фактически отказываетесь от картины взаимодействия, потому что вы перенормируете напряженность поля.

Любош писал: "...пертурбативная КТП явно работает...". Нет, он с треском проваливается в начальном приближении ("голые" частицы, мягкое излучение не предсказано) и при поиске решений итерациями (бесконечные поправки к начальному приближению). Поэтому к нему столько вопросов!

Что сопоставимо с экспериментальными данными, так это перенормированный и суммированный результат IR («исправленное решение»), который сильно отличается от исходного решения. И даже после этого в теории возникают концептуальные и математические трудности. Кроме того, существуют неперенормируемые теории, в которых попытки «починить решения на ходу» безнадежно терпят неудачу.

QFT, как человеческое изобретение, страдает от серьезных проблем. Он очень далек от желаемого состояния и нуждается в ремонте. Иногда перенормировки «работают», но не всегда, и мы далеки от утверждения «в QFT нет проблем ». Надо попробовать другие конструкции. Я не согласен с утверждением Любоша, что "это невозможно", особенно если с помощью перенормировок и суммирования НП-вкладов уйти от изначально неправильного приближения и получить разумные результаты. Я считаю, что мы можем начать с лучшего начального приближения, устранить эти проблемы и напрямую прийти к окончательным результатам. Отрицать такие возможности, мягко говоря, неразумно.

Теорема Хаага и ее нынешнее обсуждение затрагивают различие между математикой и физикой. В то время как математика основана на аксиомах и состоит из теорем, предполагается, что физика объясняет наш опыт в рамках ограниченного набора математики. В соответствии с этим разделением теорема Хаага относится к математике.

Причина в том, что математика физики в принципе дискретна, конечна. Вы когда-нибудь измеряли что-то бесконечное? Приходилось ли вам встречать физические законы, которые применимы в любом масштабе, чтобы дать возможность появиться бесконечности? Наивный формализм квантовой теории поля, заброшенный в непрерывное пространство-время, приводит к бесконечностям только в том случае, если мы экстраполируем наблюдаемые физические законы на бесконечно малые расстояния. Решение этой проблемы хорошо известно: физические законы применяются только в той области, где они соблюдаются. Чтобы быть более элегантным, они используются в более широком диапазоне, и это расширение контролируется срезами короткой и длинной дистанции, что является отражением нашего невежества.

Сходимость и предел являются понятиями математики и используются в физике в процедуре, чтобы убрать ограничения и скрыть результирующие отдаленные масштабы в наших уравнениях. Сходимость устранения обрезания на коротких расстояниях, перенормируемость - это скорее удобство, чем необходимость в физике, например, неасимптотически свободные сектора Стандартных моделей предположительно тривиальны и не перенормируемы, пространство-время должно показывать гранулированную структуру вплоть до Шкала Планка.

Что необходимо в физике, так это регулируемая квантовая теория поля, которая обеспечивает математически четко определенную, свободную от противоречий платформу для изучения наблюдаемых явлений с гибким диапазоном отсечек. У нас есть это, например, теория решетчатого поля.

Аксиоматическая и конструктивная теория поля и, в частности, теорема Хаага играют очень важную роль в физике: они обращают внимание на точную границу физических наук в пределах огромного набора красивых математических понятий.