Как r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) относятся к оператору орбитального углового момента?

Когда я попытался вычислить следующее вручную

р ¯ × ( ∇ ¯ × Ф ¯ ) − ∇ ¯ × ( р ¯ × Ф ¯ ) ,
Я заметил, что некоторые из извлеченных мною членов были похожи на члены, которые появляются в операторе орибтального углового момента.
л ¯ "=" − я ℏ ( р ¯ × ∇ ¯ ) .
Существует ли сокращенное выражение, в котором используется л ¯ ? Как
р ¯ × ( ∇ ¯ × ) − ∇ ¯ × ( р ¯ × )
относятся к оператору орбитального углового момента?

Я добавил больше скобок. Это улучшило ясность?
Нет: а → × ( б → × с → ) ≠ ( а → × б → ) × с → ...
@pressure Это устранило проблему со скобками?
Да, это исправило.
@pressure Наконец-то я смог ответить на следующий вопрос: physics.stackexchange.com/questions/103664/… Пожалуйста, изучите этот вопрос, потому что в поле есть четвертый компонент.

Ответы (1)

В нотации суммирования Эйнштейна мы бы написали

U → "=" р → × ( ∇ × Ф → ) − ∇ × ( р → × Ф → ) ,
с помощью символа Леви-Чивиты ϵ я Дж к как:
U а "=" ϵ а б с   р б   ϵ с г е   ∂ г   Ф е − ϵ а б с   ∂ б   ϵ с г е   р г   Ф е .
С ϵ не меняется в зависимости от пространства, с которым мы можем коммутировать ∂ б справа, ведущий к
U а "=" ϵ а б с   ϵ с г е ( р б   ∂ г   Ф е − дельта б г Ф е − р г   ∂ б   Ф е ) ,
и, кроме того, у нас есть правило «BAC-CAB», которое ϵ а б с ϵ с г е может быть ненулевым только тогда, когда либо а "=" г и б "=" е (с коэффициентом +1) или при а "=" е и б "=" г (с коэффициентом -1), поэтому его можно переписать как дельта а г дельта б е − дельта а е дельта б г . Тогда это выражение
U а "=" ( дельта а г дельта б е − дельта а е дельта б г ) ( р б   ∂ г   Ф е − дельта б г Ф е − р г   ∂ б   Ф е ) ,
откуда термин дельта б г Ф е всегда будет исчезать, как мы получаем дельта а е Ф е − дельта а е Ф е "=" 0. Точно так же другие термины страдают от дельта б г формирование р б ∂ б Ф а − р б ∂ б Ф а "=" 0. Так что остался только термин дельта а г дельта б е один, ведущий к
U а "=" р б   ∂ а   Ф б − р а   ∂ б   Ф б .
Первый член можно переписать как ∂ а ( р б Ф б ) − Ф а , так что это можно записать как,
U → "=" ∇ ( р → ⋅ Ф → ) − р → ( ∇ ⋅ Ф → ) − Ф → .

Это тоже немного похоже на правило BAC-CAB, но оно не может быть в форме А × ( Б × С ) поскольку ∇ вероятно, не будет действовать Ф , так что давайте вместо этого нацелимся ( А × Б ) × С "=" Б ( А ⋅ С ) − А ( Б ⋅ С ) с А "=" р , Б "=" ∇ .

Другими словами, давайте посчитаем

В → "=" ( р → × ∇ ) × Ф ,
что мы делаем так же, но с
В а "=" ϵ а б с ϵ б г е р г ∂ е Ф с .
Подходящий ϵ ∝ дельта дельта анализ дает:
В а "=" ( дельта а е дельта с г − дельта а г дельта с е ) р г ∂ е Ф с "=" р с ∂ а Ф с − р а ∂ с Ф с "=" U а .

Другими словами,

[ ( р → × ) ,   ( ∇ × ) ] "=" я ℏ ( л ^ × ) .

Как r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) относятся к оператору орбитального углового момента?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v