Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

В другом, более сложном ответе используется тот факт, что$L_z$генерирует вращения вокруг$z$ось.

С вращением$\pi$вокруг$z$можно поменять знак$L_x$(или проекции$\vec{L}$вдоль любого единичного вектора, нормального к$z$):

$$e^{-i\pi L_z} L_x e^{i\pi L_z} = -L_x$$ Как следствие $$\langle a|e^{-i\pi L_z} L_x e^{i\pi L_z}|a \rangle = -\langle a|L_x|a\rangle\tag{1}$$ Но $e^{i\pi L_z}|a \rangle = e^{i\pi a}|a \rangle$так что (1) можно переписать $$\langle a|e^{-i\pi a} L_x e^{i\pi a}|a \rangle = -\langle a|L_x|a\rangle\:,$$ то есть $$\langle a| L_x e^{-i\pi a} e^{i\pi a}|a \rangle = -\langle a|L_x|a\rangle\:,$$ а именно $$\langle a| L_x |a \rangle = -\langle a|L_x|a\rangle\:,$$ это подразумевает $\langle a|L_x|a\rangle=0$.

По определению ожидаемой ценности:

$$\begin{equation} \langle\hat{A}\rangle=\langle a|\hat{A}|a\rangle \end{equation}$$ где $\hat{A}$интересующая вас наблюдаемая (то есть $L_x, L_y$для этого случая). Используя также выражения для $L_x, L_y$: $$\begin{equation} L_x=\frac{L_++L_-}{2}, \quad L_y=\frac{L_+-L_-}{2i} \end{equation}$$ Учитывая, что вы находитесь в собственном состоянии $L_z$(произвольное |a $\rangle$) действуя с этими операторами на кет вы получите $|a+1\rangle$, $|a-1\rangle$соответственно, которые являются ортогональными состояниями относительно $|a\rangle$. Таким образом, ваш результат будет 0 в обоих случаях...