Собственные состояния орбитального углового момента в представлении |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle

Question

Собственные состояния орбитального углового момента в представлении |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle

Золото

Рассмотрим операторы орбитального углового момента $L^2$ и $L_z$ . в $|\mathbf{r}\rangle$ представление с использованием сферических координат, действия этих операторов задаются формулой

л^{2} ф (р) "=" - ℏ^{2} (\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} + \frac{1}{загар θ} \frac{\partial}{\partial θ} + \frac{1}{{грех}^{2} θ} \frac{\partial^{2}}{\partial ф^{2}}) ф (р)

$L^2\varphi(\mathbf{r})=-\hbar^2\left(\dfrac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\dfrac{1}{\tan \theta} \dfrac{\partial}{\partial \theta}+\dfrac{1}{\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right)\varphi(\mathbf{r})$

л_{г} ф (р) "=" - я ℏ \frac{\partial}{\partial ф} ф (р) .

$L_z\varphi(\mathbf{r})=-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial \phi}\varphi(\mathbf{r}).$

Теперь мы знаем, что $[L^2,L_z]=0$ так что можно построить базис пространства состояний одновременных собственных состояний обоих $L^2$ и $L_z$ . Мы также знаем, что собственные значения $L^2$ имеют форму $l(l+1)\hbar^2$ с $l$ целая или полуцелая. С другой стороны, собственные значения $L_z$ имеют форму $m\hbar$ и с фиксированным $l$ у нас есть это $m$ может принимать только значения $-l,-l+1,\dots,l-1,l$ . Тогда одновременные уравнения на собственные значения имеют вид

л^{2} ψ (р, θ, ф) "=" л (л + 1) ℏ^{2} ψ (р, θ, ф)

$L^2\psi(r,\theta,\phi)=l(l+1)\hbar^2\psi(r,\theta,\phi)$

л_{г} ψ (р, θ, ф) "=" м ℏ ψ (р, θ, ф)

$L_z\psi(r,\theta,\phi)=m\hbar \psi(r,\theta,\phi)$

Теперь в книге, которую я изучаю (книга Коэна по квантовой механике), говорится следующее:

В уравнениях на собственные значения $r$ не входит ни в один дифференциальный оператор, поэтому мы можем считать его параметром и *учитывать только $\theta$ - и $\phi$ -зависимость от $\psi$ . Таким образом, мы обозначаем через $Y_l^m(\theta,\phi)$ общая собственная функция $L^2$ и $L_z$ что соответствует собственным значениям $l(l+1)\hbar^2$ и $m\hbar$ .

$л^{2} Д_{л}^{м} (θ, ф) "=" л (л + 1) ℏ^{2} Д_{л}^{м} (θ, ф)$ $L^2Y^m_l(\theta,\phi) = l(l+1)\hbar^2Y^m_l(\theta,\phi)$

$л_{г} Д_{л}^{м} (θ, ф) "=" м ℏ Д_{л}^{м} (θ, ф)$ $L_zY^m_l(\theta,\phi)=m\hbar Y^m_l(\theta,\phi)$

Эти уравнения дают $\theta$ - и $\phi$ -зависимость собственных функций $L^2$ и $L_z$ . Как только решения $Y^m_l(\theta,\phi)$ этих уравнений найдено, эти собственные функции будут получены в виде:

$ψ_{л, м} (р, θ, ф) "=" ф (р) Д_{л}^{м} (θ, ф)$ $\psi_{l,m}(r,\theta,\phi)=f(r)Y^m_l(\theta,\phi)$

где $f(r)$ является функцией $r$ которая появляется как постоянная интегрирования для уравнения в частных производных.

Теперь я не понимаю, как автор делает вывод, что, учитывая $l$ и $m$ собственная функция $\psi_{l,m}$ имеет форму $\psi_{l,m}(r,\theta,\phi) = f(r)Y^m_l(\theta,\phi)$ . Этот вывод пришел из воздуха. По тому, как все написано, кажется, что $Y^m_l$ по определению является собственной функцией, соответствующей $l$ и $m$ . Но затем автор утверждает, что собственная функция действительно $\psi_{l,m}(r,\theta,\phi)=f(r)Y^l_m(\theta,\phi)$ .

Действительно, уравнения, определяющие собственные функции $L^2$ и $L_z$ являются дифференциальными уравнениями. Глядя с этой точки, $\psi_{l,m}$ является формой сепарабельного решения. Но есть те, которые неотделимы.

В общем, учитывая то, как автор представил вещи, как он заключает общий вид собственных функций и какова его точка зрения при вызове $Y^m_l$ угловая зависимость собственных функций

Любопытный Разум

Я не уверен, что именно вам здесь непонятно. Вы знаете спектр для

L_{z}

$L_z$ и

L^{2}

$L^2$ .

ψ_{l, m}

$\psi_{l,m}$ являются собственными функциями для каждого возможного собственного значения. Так почему же вы утверждаете, что могут быть несепарабельные собственные функции? Запись общей неразделимой функции в виде

\sum_{i} f_{i} (r) Y_{m_{i}}^{l_{i}} (θ, ϕ)

$\sum_i f_i(r) Y^{l_i}_{m_i}(\theta,\phi)$ , вы должны увидеть, что только сепарабельные функции являются собственными.

Прахар

Автор говорит прежде всего о собственной функции

\nabla^{2}

$\nabla^2$ в сферических координатах, которые включают все 3 координаты

(r, θ, ϕ)

$(r,\theta,\phi)$ . Эту собственную функцию он обозначает как

ψ (r, θ, ϕ)

$\psi(r,\theta,\phi)$ . Далее он использует явную форму

\nabla^{2}

$\nabla^2$ в сферических координатах и показывая, что его можно разбить на части, являющиеся чисто

r

$r$ зависимый и кусок, который чисто

(θ, ϕ)

$(\theta,\phi)$ зависимый. Последнее оказывается просто

L^{2}

$L^2$ . Он заключает, что полная собственная функция

ψ

$\psi$ можно построить из собственных функций

L^{2}

$L^2$ , а именно

Y_{l}^{m}

$Y^m_l$ .

Ответы (1)

Собственные состояния орбитального углового момента в представлении |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle

Я не уверен, что именно вам здесь непонятно. Вы знаете спектр для $L_z$ и $L^2$ . $\psi_{l,m}$ являются собственными функциями для каждого возможного собственного значения. Так почему же вы утверждаете, что могут быть несепарабельные собственные функции? Запись общей неразделимой функции в виде $\sum_i f_i(r) Y^{l_i}_{m_i}(\theta,\phi)$ , вы должны увидеть, что только сепарабельные функции являются собственными.
Автор говорит прежде всего о собственной функции $\nabla^2$ в сферических координатах, которые включают все 3 координаты $(r,\theta,\phi)$ . Эту собственную функцию он обозначает как $\psi(r,\theta,\phi)$ . Далее он использует явную форму $\nabla^2$ в сферических координатах и показывая, что его можно разбить на части, являющиеся чисто $r$ зависимый и кусок, который чисто $(\theta,\phi)$ зависимый. Последнее оказывается просто $L^2$ . Он заключает, что полная собственная функция $\psi$ можно построить из собственных функций $L^2$ , а именно $Y^m_l$ .

ГЛС · Answer 1

Мы знаем это $\psi_{l,m}$ удовлетворяет, для каждого $l$ и $m$ , уравнения

л^{2} ψ_{л, м} (р, θ, ф) "=" л (л + 1) ℏ^{2} ψ_{л, м} (р, θ, ф),

$L^2\psi_{l,m}(r,\theta,\phi)=l(l+1)\hbar^2\psi_{l,m}(r,\theta,\phi),$

л_{г} ψ_{л, м} (р, θ, ф) "=" м ℏ ψ_{л, м} (р, θ, ф) .

$L_z\psi_{l,m}(r,\theta,\phi)=m\hbar \psi_{l,m}(r,\theta,\phi).$

Но мы также знаем, что по определению $Y_{l, m}(\theta, \phi)$ удовлетворяют одним и тем же уравнениям.

Тогда, если уравнения на собственные значения для $Y_{l,m}$ вырождены, что можно доказать не решением дифференциальных уравнений, мы должны заключить, что $\psi_{l,m}$ и $Y_{l,m}$ одинаковы, за исключением «постоянного» фактора, который не зависит от $\theta$ или $\phi$ , но зависит от $r$ . Затем автор просто продолжает называть этот еще неизвестный фактор $f(r)$ .

Собственные состояния орбитального углового момента в представлении |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle

Золото

Любопытный Разум

Прахар

Ответы (1)

ГЛС

Каким образом среднее значение величины может быть оператором?

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

L^xL^x\hat{L}_{x} и L^yL^y\hat{L}_{y} не коммутируют... или коммутируют?

Проблема углового момента в квантовой механике

Странное обозначение бюстгальтера

Чему равно частное двух квантовых операторов?

Ограничение на квантовые числа орбитального углового момента

Ожидаемое значение оператора положения для состояний углового момента

Является ли собственная функция оператора углового момента единственной?

Почему sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}), повышающие и понижающие операторы J±J±J_{\pm}, гарантируют квантование собственных значений?