Сумма векторов ускорения

Для точечной массы нет смысла иметь 2 ускорения. Что вы могли бы сделать, так это найти ускорения, вызванные двумя силами по отдельности. Вы можете добавить их, когда$m= \text{constant}$,

$\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=m(\vec{a_1}+\vec{a_2})$

При использовании символа векторов автоматически учитывается их направление.

Это связано с принципом суперпозиции: когда на тело действует несколько сил, результирующая сила представляет собой сумму отдельных сил:

$$\vec F_{net} = \sum \vec F_i$$ Однако это верно только в том случае, если зависимость между силой и ускорением линейна .

Возьмем в качестве примера гравитационную силу: скажем, у вас есть три тела, и вы уже вычислили$\vec a_1$и$\vec a_2$- ускорения, ощущаемые третьим телом за счет двух других. Тогда сила на третьем будет

$$m \vec a =\vec F_1 + \vec F_2= m \vec a_1 + m \vec a_2 = m(\vec a_1 + \vec a_2)=m\vec a_{1+2} = \vec F_{net}$$ так как сила линейна по $\vec a$. Здесь $\vec a_{1+2}$- полное ускорение - действительно $\vec a_1 + \vec a_2$.

Контрпример: если бы у вас была среда, в которой ускорение пропорционально квадрату силы , то принцип суперпозиции был бы неверным. Предположим, что это квадратичное соотношение имело бы место для гравитационной силы, тогда сила, действующая на третье тело, была бы (здесь я просто рассматриваю x-компоненту):

$$\begin{align} m a_x & = (F_{net})^2\\ &=( F_{1x} + F_{2x})^2\\ &=(m a_{1x} + m a_{2x})^2\\ & = (m a_{1x})^2+2m^2 a_{1x} a_{2x}+(m a_{2x} )^2\\ &=( F_{1x})^2+ (F_{2x})^2 + 2m^2 a_{1x} a_{2x}\\ \end{align}$$

Линейность не указана ($(a+b)^2\neq (a^2+b^2)$) и, следовательно, принцип суперпозиции не выполняется. Вы можете убедиться в этом, взглянув на$2m^2 a_{1x}...$термин: в принципе принцип суперпозиции просто говорит, что сумма сил имеет тот же эффект, что и комбинация отдельных сил. Хотя здесь квадрат суммы имеет эффект объединенных сил в квадрате плюс еще один член.

Это, в свою очередь, означает, что в этом случае полное ускорение, которое вы получаете в правой части, не просто$\vec a_1 + \vec a_2$.

Хотя все остальные ответы полностью верны, я просто хочу написать более упрощенный ответ.

Это почти то же самое, что и расстояния. Если вы пройдете 1 метр на север и 1 метр на восток, вы можете сложить два вектора расстояния и получить$\sqrt2$м Северо-Восток:

$$\vec{d}_1=1m[N]=(1,0),~~\vec d_2=1m[E]=(0,1)$$ $$\vec d=\vec d_1+\vec d_2=(1,1)=1m[N]+1m[E]=\sqrt2m[NE]$$

Добавление векторов ускорения работает так же, как добавление векторов расстояния. Вы добавляете соответствующие компоненты (x с x, y с y и т. д., какие бы координаты вы ни использовали), и величина и направление будут работать сами собой.

Выражение «Суммарное ускорение» не подходит, если ускорения имеют разные направления. Результирующий вектор на самом деле представляет собой «чистое ускорение» или комбинированный эффект этих двух ускорений или, что то же самое, сил. Результирующий вектор гарантирует, что добавляются только эффективные компоненты, а противоположные эффекты компенсируются.

Может быть, поможет пример. Рассмотрим следующую систему, в которой на массу m действуют два ускорения.

Результирующий вектор гарантирует, что$a\sin \theta$компоненты отменяются и$a\cos \theta$компоненты складываются. Результирующая дает физически воспринимаемое представление о движении объекта. Более простым ответом было бы то, что ускорение — это физическая величина с направлением (то есть вектором), и когда вы хотите объединить два ускорения, вы вычисляете их равнодействующий вектор.